Normes matricielles

Exercice 1. (norme de Schur, ou de Frobenius)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de {\left\|{A}\right\|_{f}=\bigl(\text{tr}({A}^{\top}A)\bigr)^{1/2}}.
Montrer que pour toutes {A,B} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} : {\left\|{AB}\right\|_{f}\le\left\|{A}\right\|_{f}\left\|{B}\right\|_{f}}Montrer que ce résultat ne peut pas être amélioré de façon générale.
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Exercice 2. (« norme infini »)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de {\left\|{A}\right\|_{\infty}=\displaystyle\max_{i,j}\left|{a_{i,j}}\right|}.
Montrer que, pour toutes {A,B} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} : {\left\|{AB}\right\|_{\infty}\le n\left\|{A}\right\|_{\infty}\left\|{B}\right\|_{\infty}}Montrer que ce résultat n’est pas améliorable.
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Exercice 3. (« norme 1 »)
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} de {\left\|{A}\right\|_{1}=\displaystyle\sum_{i,j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|}.
Montrer que : {\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;\left\|{AB}\right\|_{1}\le\left\|{A}\right\|_{1}\left\|{B}\right\|_{1}}Montrer que ce résultat n’est pas améliorable.
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Exercice 4. (normes « de ligne » et « de colonne »)
Pour {A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, on pose : {\begin{array}{rl}N_{1}(A)&=\displaystyle\max_{1\le j\le p}\biggl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\biggr)\\[6pts]N_{\infty}(A)&=\displaystyle\max_{1\le i\le n}\biggl(\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left|{a_{i,j}}\right|\biggr)\end{array}}

  1. Montrer que {N_{1}} est une norme.
  2. Montrer que : {\begin{array}{l}\forall A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\;\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}),\\[6pts]N_{1}(AB)\le N_{1}(A)N_{1}(B)\end{array}}
  3. Montrer que {N_{\infty}} est une norme.
  4. Montrer que : {\begin{array}{l}\forall A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\;\forall B\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K}),\\[6pts]N_{\infty}(AB)\le N_{\infty}(A)N_{\infty}(B)\end{array}}

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Exercice 5.
On munit {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} d’une norme quelconque {N}.
Montrer que : {\begin{array}{l}\exists\, k\gt 0,\;\forall\, (A,B)\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})^{2},\\[6pts]N(AB)\le kN(A)N(B)\end{array}}
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