Matrices symétriques réelles

Exercice 1.
Soit {p\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)} canoniquement associée à {M=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1&0\cr 0&1&0&-1\cr-1&0&1&0\cr0&-1&0&1\end{pmatrix}}Montrer que {p} est un projecteur orthogonal.
Donner une b.o.n de {\text{Im}(p)} et de {\text{Ker}(p)}.
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Exercice 2.
Diagonaliser {A=}{\begin{pmatrix}3&2&2\cr 2&2&0\cr 2&0&4\end{pmatrix}} dans le groupe orthogonal. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
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Exercice 3.
Montrer que la matrice {A} est inversible :{A=\begin{pmatrix}1-i & -2 & -3 & 4 \cr -2 & 2-i & 18 & 2 \cr -3 & 18 & 1-i & 1 \cr 4 & 2 & 1 & 3-i\end{pmatrix}}
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Exercice 4.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, symétrique.
On suppose {A^{m}=I} pour un {m\ge1}.
Montrer que {A^2=I}.
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Exercice 5.
Soit {A=(a_{ij})}, symétrique réelle d’ordre {n}, de valeurs propres {(\lambda_k)_{1\le k\le n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2=\sum_{k=1}^n\lambda_k^2}.
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Exercice 6.

  1. Montrer que {\text{dim}\,\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})=\dfrac{n(n+1)}{2}}.
  2. Est-ce que l’ensemble des matrices nilpotentes est un espace vectoriel?
  3. Soit {\mathcal{N}} un sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} composé de matrices nilpotentes.
    Montrer {\text{dim}\,\mathcal{N}\leq \dfrac{n(n-1)}{2}}. Égalité ?

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