Matrices symétriques réelles

Exercice 1.
Soit {p\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^4)} canoniquement associée à {M=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1&0\cr 0&1&0&-1\cr-1&0&1&0\cr0&-1&0&1\end{pmatrix}}Montrer que {p} est un projecteur orthogonal.
Donner une b.o.n de {\text{Im}(p)} et de {\text{Ker}(p)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 2.
Diagonaliser {A=}{\begin{pmatrix}3&2&2\cr 2&2&0\cr 2&0&4\end{pmatrix}} dans le groupe orthogonal. Calculer {A^{n}} pour {n\in\mathbb{N}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 3.
Montrer que la matrice {A} est inversible :{A=\begin{pmatrix}1-i & -2 & -3 & 4 \cr -2 & 2-i & 18 & 2 \cr -3 & 18 & 1-i & 1 \cr 4 & 2 & 1 & 3-i\end{pmatrix}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 4.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, symétrique.
On suppose {A^{m}=I} pour un {m\ge1}.
Montrer que {A^2=I}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 5.
Soit {A=(a_{ij})}, symétrique réelle d’ordre {n}, de valeurs propres {(\lambda_k)_{1\le k\le n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2=\sum_{k=1}^n\lambda_k^2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).

Exercice 6.

  1. Montrer que {\text{dim}\,\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})=\dfrac{n(n+1)}{2}}.
  2. Est-ce que l’ensemble des matrices nilpotentes est un espace vectoriel?
  3. Soit {\mathcal{N}} un sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} composé de matrices nilpotentes.
    Montrer {\text{dim}\,\mathcal{N}\leq \dfrac{n(n-1)}{2}}. Égalité ?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écran, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).