Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Limite d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{n})}

une suite telle que

{a_{0}=1}

et :

{\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}

Montrer que, pour tout

{n\in \mathbb{N}}

{a_{n}\in \lbrack 0,1]}

.
Calculer la limite de la suite

{(a_{n})}

➡️

Série d’intégrales

(Oral CCInp)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}

.
Montrer :

{\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}}

converge et

{\displaystyle\sum a_{n}}

diverge.
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

➡️

Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

➡️

Développabilité en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^\infty[0,a[}

, à dérivées toutes positives.
Soit

{R_{n}(x)}

e son reste intégral d’ordre

{n}

sur

{[0,x]}

.
Montrer que

{x\mapsto R_{n}(x)/x^{n+1}}

est croissante.
En déduire que

{f}

est DSE sur

{[0,a[}

➡️

Une série et un rayon de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t}

{a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

converge, et que

{\displaystyle\lim_{+\infty}F}

existe.
Déterminer le rayon de convergence

{R}

{\displaystyle\sum a_n x^n}

➡️

Étude au bord du disque de convergence

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite réelle telle que

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}na_{n}=0}

.
Montrer que le rayon de

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

est

{R\ge1}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}x^{n}=o(\ln (1\!-\!x))}

quand

{x\rightarrow 1^{-}}

➡️

Séries entières et intégrales

(Oral Centrale)
Soit

{R>0}

le rayon de convergence de

{S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

.
Pour

{r\in \lbrack 0,R[}

, on montre que :

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}

On voit deux méthodes très différentes.

➡️

Série de fonctions ou série entière ?

(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de

{f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}

Montrer que

{f}

est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?

➡️

Convergence d’une suite d’intégrales

(Oral Centrale)
Sous certaines hypothèses sur la suite

{(g_n)}

, et pour

{f}

de classe

{\mathcal{C}^1}

sur

{[0,1]}

, on calcule

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}

➡️

Série des f(n) avec hypothèse sur f’/f

(Oral Centrale)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}

, avec

{\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ell}

.
On demande d’étudier la série

{\displaystyle\sum f(n)}

➡️

La série des sin(2π e n!)

(Oral Mines-Ponts)
Donner un équivalent de

{u_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}}

.
En déduire que la série

{\displaystyle\sum\sin (2\pi\,\text{e}\, n!)}

diverge.

➡️

Quatre épisodes pour une mini-série

Nature et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_{n}}

où

{u_{n}=\dfrac{n}{2^{n}}}

.
Pour la somme, on demande plusieurs méthodes.

➡️

Une série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
Pour tout

{n\in\mathbb{N}}

, on pose

{u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}

Nature et somme de la série de terme général

{u_n}

?
Nature de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|}

➡️

Une série d’intégrales

(Oral CCInp)
On définit, pour

{n\in \mathbb{N}}

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}\,{\rm d}x}{1+x+\cdots +x^{n}}}

Déterminer la limite de

{u_{n}}

lorsque

{n}

{+\infty }

.
Déterminer la nature de

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}}

➡️

Une suite/série implicite

(Oral Centrale)
Montrer que :

{\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}

Déterminer la nature des séries

{\displaystyle\sum a_{n}}

{\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}

.
Déterminer la limite de

{n(1-na_{n})}

{+\infty}

.
Développer

{a_n}

à la précision

{o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}

➡️

Équivalent d’un produit partiel

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe une constante

{C\neq 0}

telle que :

{\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}

➡️

Une série en arccos

(Oral Mines-Ponts)
Nature de la série de terme général

{u_{n}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos \Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha }}\Big)-\dfrac{\pi }{6}}

➡️

Projection orthogonale dans Rn[X]

(Oral Mines-Ponts)
On munit

{E=\mathbb{R}_{n}[X]}

du produit scalaire

{(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

Soit

{A\ne0}

dans

{E}

. Pour tout

{P\in E}

, on note

{f_{A}(P)}

le reste de la division euclidienne de

{P}

par

{A}

.
Montrer que

{f_{A}}

est un endomorphisme de

{E}

. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?

➡️

Distance à deux supplémentaires

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{F,G}

deux sous-espaces de

{E}

euclidien.
Montrer que

{F}

{G}

sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :

{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}

➡️

Projection orthogonale sur un plan

Soit

{\mathbb{R}^{3}}

euclidien, muni de la base canonique.
Soit

{P}

le plan vectoriel orthogonal à

{n=(1,1,1)}

.
Donner la matrice

{A}

de la projection orthogonale

{\pi}

sur

{P}

➡️