Intégration
Exercices corrigés sur le thème « intégration » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}

.
Montrer que

{F}

est définie sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Calculer

{F(0)}

{\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}

.
Calculer

{F(x)}

pour tout

{x\gt0}

➡️

Une autre intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{x>1}

, on pose :

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}

.
Vérifier que

{F}

est définie.
Préciser

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}

. Calculer

{F(x)}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

, et

{g(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f(x t)\ln(t)\mathrm{d}t}

.
Monter que

{g\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

. Préciser

{g(0)}

{g'(0)}

➡️

Suite définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout

{n\in\mathbb{N}^{*}}

{\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}

Montrer que la suite

{\left(u_{n}\right)}

est convergente.
Donner un équivalent de

{u_{n}}

quand

{n\to+\infty}

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Condition suffisante d’intégrabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}}

continue par morceaux.
On suppose que

{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}

.
Montrer que

{f}

est intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

Une intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}

.
Montrer que

{F}

est intégrable sur

{\mathbb{R}^{+^{*}}}

.
Monrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}

➡️

Une intégrale pas si complexe

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{F(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\!\!\dfrac{\text{d}x}{\left(1+x^{2}\right) \left(1+ixy\right)}}

➡️

Approximation par somme de Riemann

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})}

{M_{n}(f)=\dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\dfrac{k}{n}\right)}

Montrer que : ${\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\,\mathrm{d}t=M_{n}(f)+\dfrac{f(1)-f(0)}{2 n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}$

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Minimisation d’une fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F}

l’ensemble des fonctions

{f}

de classe

{\mathcal{C}^{1}}

sur

{[0,1]}

telles que

{f(0)=0}

{f(1)=1}

.
Montrer que :

{\forall\,f\!\in\!F,\displaystyle\int_{0}^{1}\!|f'(t)-f(t)|\,\text{d}t>\dfrac{1}{\text{e}}}

➡️

Intégrales et séries

(Oral Ensam)
On pose

{a_{n}=-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{n}\ln t}{t+1}\,\text{d}t}

Montrer que

{(a_{n})}

est définie, et déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent de

{a_{n}}

.
Calculer

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

➡️

Encore une série d’intégrales

(Oral Ccp)
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}x^{n}\sin (\pi x)\,\text{d}x}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum_{n\ge0} u_{n}}

.
Montrer que :

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }u_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi }\dfrac{\sin t}{t}dt}

➡️

Somme d’une série d’intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{(p,q)\in\mathbb{N}^{2}}

, calculer

{I_{p,q}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\text{d}t}

.
Déterminer la nature et la somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}I_{n,n}}

➡️

Série alternée d’intégrales

(Oral CCInp)
On note la fonction

{\Gamma :x\mapsto \displaystyle\int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t}

.
On pose

{u_{n}=\displaystyle\int_{n}^{n+1}\!\!\!\ln\Gamma(x)\,\text{d}x}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n}}{u_{n}}}

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Une relation série-intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On admet :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}

. Montrer que :

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}

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Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit

{f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})}

avec

{f(0)=f^{\prime }(0)=0}

.
Montrer :

{\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}

Montrer :

{\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

.
Montrer :

{\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}

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Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}

.
On rappelle que :

{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

Trouver le domaine de définition de

{f}

.
Montrer que la restriction de

{f}

{\mathbb{R}^+}

est

{\mathcal{C}^{1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx}

existe et la calculer.

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Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})}

nulle pour

{|x|\gt A}

.
Montrer que

{F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt}

est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que :

{\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}}

{\forall\, x>0}

{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}

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Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose

{I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}

Déterminer le dommaine ${D}$ de la fonction ${I}$ .
Montrer que ${I}$ est ${\mathcal C^1}$ sur ${D}$ .
Calculer pour ${I(x+1)-I(x)}$ pour ${x\in D}$ .
Déterminer la limite de ${I}$ en ${+\infty}$ .
Donner un équivalent de ${I}$ en ${-1}$ et en ${+\infty}$

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Intégrale de (f(bx)-f(ax))/x sur R+

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f}

une fonction continue et intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Soient

{a,b\in \mathbb{R}}

tels que

{0\lt a\lt b}

.
Existence et valeur de

{J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}

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Logarithme de la fonction Gamma

(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de

{\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}

.
Équivalent de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t}

{+\infty}

.
En déduire un équivalent de

{\ln \Gamma(x)}

{+\infty }

➡️