Intégration
Exercices corrigés sur le thème « intégration » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma}

(constante d’Euler)

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Existence d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de

{J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}

➡️

Série entière à coefficient intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}

. Rayon

{R}

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

puis convergence en

{\pm R}

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Intégrale et série numérique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}

➡️

L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

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Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

➡️

Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}

tend vers

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}

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Polynômes orthogonaux

(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour

{(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}

On montre qu’ils sont scindés simples sur

{\mathbb{R}}

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Calcul d’une intégrale généralisée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}

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DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

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Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

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Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)

(Oral Centrale Mp)
Étude de l’intégrale à paramètre

{f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}

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Intégrabilité de 1/(1+e^t |sin t|) sur ℝ⁺

(Oral Centrale Mp)
Intégrabilité de

{\dfrac{1}{1+\text{e}^t|\sin t|}}

sur

{\mathbb{R}^+}

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(3/3)

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)

(Oral Centrale Mp)

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(2/3)

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(1/3)

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Longueur approchée d’une ellipse

(Oral Centrale)
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.

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Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}

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