Concours Mines-Ponts
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

➡️

Calcul d’un déterminant d’ordre n

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{\det(M)}

, pour

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}

➡️

Puissances d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}

. Calculer

{A^{n}}

pour

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Suite convergente de polynômes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(P_{n})_{n\ge 0}}

une suite de

{\mathbb{R}_{m}[X]}

, avec

{m \ge 2}

, simplement convergente vers

{f}

. Montrer que

{f}

est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.

➡️

Un endomorphisme diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

P^2=P

. Diagonalisabilité de

{\Phi\colon M\mapsto PM+MP}

➡️

Convergence uniforme et extrémas

(Oral Mines-Ponts)
On suppose que la suite

(f_n)

de fonctions continues converge uniformément sur

[a,b]

.
Étudier les suites

{\max\limits_{[a,b]}f_n}

{\min\limits_{[a,b]}f_n}

➡️

Une suite de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence uniforme sur

{\mathbb{R}^+}

de la suite des

{f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de

{S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}

, variations, et limite en

{+\infty}

➡️

Un développement en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière

{f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}

➡️

Un développement de arctan(x)

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel

{x}

{\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}

➡️

Rayon et somme d’une série entière

(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}

➡️

Nombres de Bell, formule de Dobinksi

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{B_n}

le nombre de partitions de

{[[1,n]]}

.
Montrer

{B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}

Montrer :

{T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}}

(formule de Dobinski).

➡️

Rayon(s) de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de

{\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}

, et

{S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}

.
Montrer :

{R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}

➡️

Une série de fonctions, alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}

.
Calculer

{\displaystyle\lim_{+\infty}f}

➡️

Valeurs propres extrémales

(Oral Mines-Ponts)
Inégalités entre valeurs propres extrémales de

u,v,u+v

, avec

u,v

symétriques.

➡️

Trace et égalité matricielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

avec

{A^3+A^2+A+I_n=0}

. Montrer que

{\text{tr}(A)\leq 0}

➡️

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

, et

{a_{i,i}=i}

➡️

Puissances d’une matrice 3×3

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}}

. Calculer

{A^n}

pour

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Dérivabilité de la fonction Zeta

(Oral Mines-Ponts)
Domaine, caractère

\mathcal{C}^{\infty}

, et limites aux bornes de

{\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}

➡️