Concours Centrale
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours de l’École Centrale (classes de Spé Mp, Pc, Psi)

Diagonalisation et série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}

, où

a

est la valeur propre réelle de

{A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}

➡️

Si AB=BA et B nilpotente, alors…

(Oral Centrale)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, avec

{B}

nilpotente et

{AB=BA}

. Montrer l’équivalence :
(

{A}

inversible)

{\Leftrightarrow}

(

{A+B}

inversible).

➡️

Existence d’un supplémentaire commun

(Oral Centrale & Ccp)
Montrer que deux sous-espaces d’un espace

E

de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.

➡️

Une somme de série de fonctions

(Oral Centrale)
Domaine et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n\dfrac{\cos^3(3^nx)}{3^n}}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de

{S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}

, variations, et limite en

{+\infty}

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Série entière et coefficients binomiaux

(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que

{4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}

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Série de fonctions, télescopique

(Oral Centrale)
Domaine et expression de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}

➡️

Caractérisation de tr(A)=0

(oral Centrale)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Montrer :

{\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}

➡️

Le commutant de GLn(ℂ)

(Oral Centrale)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

telles que :

{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

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Calcul de déterminant en Python

(Oral Centrale)
Soit

{A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}

avec

{a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}

. Calculer

{\det(A_n)}

➡️

Une base de Cn[X]

(Oral Centrale)
On définit les polynômes

{P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}

, où

{a\ne b,\; 0\le k\le n}

.
Montrer qu’ils forment une base de

{\mathbb{C}_n[X]}

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Dérivabilité dun produit infini

(Oral Centrale)
Montrer que

{G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}}

est de classe

{{\mathcal C}^\infty}

sur

{\mathbb{R}^+}

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Suite des itérées d’une fonction

(Oral Centrale)
Convergence sur

[0,1]

de la suite des itérées de

{\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}

➡️

Diagonalisation par blocs

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

{B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Montrer que

B

est diagonalisable si et seulement si

A

est diagonalisable.

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Matrice inversible? diagonalisable?

(Oral Centrale)
On étudie l’inversibilité et la diagonalisabilité d’une matrice carrée d’ordre

4

➡️

Deux sommes directes

(Oral Centrale)
Soient

{f,g\in\mathcal{L}(E)}

, avec

\dim(E)\lt+\infty

{E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}

.
Montrer que les deux sommes sont directes.

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Le cousin de Vandermonde

(Oral Centrale)
Soit

{(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}

. Calculer le déterminant

{\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}

➡️

Une forme linéaire sur IR[X]

(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire

S

définie sur

{\mathbb{R}[X]}

par

{S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}

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Moyenne de permutations

(Oral Centrale)
Soit

{(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})}

la base canonique de

{\mathbb{R}^{n}}

, et

S_n

l’ensemble des permutations de

[[1,n]]

.
Pour

{\sigma\in S_{n}}

soit

{f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

définie par

{\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}

.
Identifier

{p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}

➡️