Polynômes annulateurs

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Polynômes annulateurs ».

Série génératrice d’une récurrence linéaire

(Oral Centrale) On étudie la série entière génératrice d’une récurrence linéaire d’ordre 3. Par plusieurs points de vue, on résout cette récurrence.

Une algèbre de matrices 3×3

(Oral Centrale) On considère un ensemble

{E}

de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que

{E}

est une sous-algèbre de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de

{E}

.

Sous-algèbre sans nilpotents

(Oral Centrale) Soit

{\mathcal{A}}

une sous-algèbre commutative de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

), contenant In et sans nilpotent. Alors

{\dim(\mathcal{A})\le n}

et les éléments de

{\mathcal{A}}

sont diagonalisables.

Réduction de matrices par blocs

(Oral Centrale) Si

{M}

est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs

{N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}

. On étudie la diagonalisabilité de

{N}

, et son polynôme minimal.

Équation au crochet de Lie

(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

par

{[A,B]=AB-BA}

. On détermine les matrices

{A}

telles qu’on ait toujours

{[A,[A,[A,T]] = [A,T]}

.

Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit

{Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, définie par :

{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Prouver que

{Z_n}

est diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

Procéder à la diagonalisation efffective de

{Z_n}

.
Donner l’exemple de

{n=5}

et

{n=6}

.

Polynôme annulateur et trace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que :

{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}

On suppose

{\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}

. Montrer que

{4\mid n}

.

Ordre d’une matrice entière de taille 2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}

, d’ordre fini

{k\ge1}

:

{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}

Que dire de

{A}

, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de

{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}

.

Conditions de diagonalisabilité (ou pas)

(Oral CCInp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

, avec

{n\ge2}

.
On suppose

{f^{4}= f^{2}}

, et

{(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}

.
L’endomorphisme

{f}

est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant

{(\star)}

par

{\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}

?

Endomorphisme vérifiant u^3=u

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie.
Soit

{u\in{\mathcal L}(E)}

tel que

{u^{3}=u}

.
Montrer que

{u^{2}}

est un projecteur.
Que dire si

{\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}

?

Cayley-Hamilton et matrice compagnon

(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).

P(A) diagonalisable, P'(A) inversible

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. On suppose qu’il existe

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{P(A)}

soit diagonalisable et

{P^{\prime }(A)}

inversible.
Montrer que la matrice

{A}

est diagonalisable.

Polynôme annulateur et trace

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})}

telle que

{(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}

.
Montrer que

{\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}

.

Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=I_{3}}

, et

{b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

.
Résoudre l’équation

{Ax=x-b}

où

{x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

.

A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in GL_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si

{A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})}

?

Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

.

Si A³ = A+I_n, alors det(A)>0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=A+I_{n}}

. Montrer que

{\det(A)>0}

.

Puissances de polynômes annulateurs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de

{A}

est lui même un polynôme annulateur de

{A}

.

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

?

Algèbre de matrices diagonalisables

(Oral Centrale Mp)
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.