(Oral Centrale) On considère un ensemble {E} de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que {E} est une sous-algèbre de {\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de {E}.
(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
(Oral Centrale) Si {M} est une matrice carrée, on forme la matrice par blocs {N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}}. On étudie la diagonalisabilité de {N}, et son polynôme minimal.
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que :{A^{4}+A^{3}+A^{2}+A+I_{n}=0}On suppose {\text{tr}(A)\in\mathbb{Q}}. Montrer que {4\mid n}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, d’ordre fini {k\ge1}:{A^{k}=I_n\;\text{et}\;\forall\,j\in[1,k[,\;A^{j}\neq I_n}Que dire de {A}, en termes de réduction ?
Préciser les ordres possibles de {A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})}.
(Oral CCInp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie.
Soit {u\in{\mathcal L}(E)} tel que {u^{3}=u}.
Montrer que {u^{2}} est un projecteur.
Que dire si {\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}?
(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in GL_{n}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si {A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})} ?
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de {A} est lui même un polynôme annulateur de {A}.