Polynômes annulateurs

(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).

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P(A) diagonalisable, P'(A) inversible

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. On suppose qu’il existe

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{P(A)}

soit diagonalisable et

{P^{\prime }(A)}

inversible.
Montrer que la matrice

{A}

est diagonalisable.

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Polynôme annulateur et trace

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in \mathcal M_n(\mathbb{R})}

telle que

{(A+3I_n)(A^{2}+A+I_n)=0}

.
Montrer que

{\mathrm{tr}(A)\in\Z^{-*}}

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Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=I_{3}}

, et

{b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

.
Résoudre l’équation

{Ax=x-b}

où

{x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

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A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in GL_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si

{A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})}

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Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

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Si A³ = A+I_n, alors det(A)>0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=A+I_{n}}

. Montrer que

{\det(A)>0}

➡️

Puissances de polynômes annulateurs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de

{A}

est lui même un polynôme annulateur de

{A}

➡️

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

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Algèbre de matrices diagonalisables

(Oral Centrale Mp)
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.

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Réduction d’une matrice en ᒧ

(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ

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Déterminant et polynômes

(Oral Centrale Mp)
Soit

n\in\mathbb{N}

, et

{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}

pour

0\le j\le n

.
On étudie la matrice des coefficients

a_{n,i,j}

et on calcule son déterminant.

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Pas de polynôme annulateur non nul

Montrer le seul polynôme annulateur de

u,v,w

(éléments de

\mathcal{L}(\mathbb{K}[X])

est

0

{u(P)=P',\;v(P)=XP(X),\;w(P)=P(X\!+\!1)}

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Équation M²-M+M^T=I_n

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre

{M^{2}-M+{M}^{\top}=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

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Trace rationnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension

{n}

{f\in \mathcal{L}(E)}

tel que :

{f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0}

{\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}

.
Montrer que

{n}

est un multiple de

{3}

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