Diagonalisation effective

Exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Réduction des endomorphismes », dans la catégorie « Diagonalisation effective »

Une algèbre de matrices 3×3

(Oral Centrale) On considère un ensemble

{E}

de matrices carrées d’ordre 3, dépendant de deux paramètres. On montre que

{E}

est une sous-algèbre de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

. On étudie les puissances et la diagonalisabilité des éléments de

{E}

➡️

Matrices magiques et valeurs propres

(Oral Centrale) Pour toute matrice

{A}

magique à coefficients strictement positifs, on montre que 1 est valeur propre dominante et que le sous-espace propre est une droite.

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Itérations de f(M)=(AM+MA)/2

(Oral Centrale) On se donne une matrice

{A}

carrée d’ordre 3. On étudie les itérations de l’endomorphisme de

{\mathcal{M}_3(\mathbb{K})}

défini par

{f(M)=(AM+MA)/2}

➡️

Itération matricielle et approximation

(Oral Centrale) Soit une matrice carrée

{A}

d’ordre

{n}

, dépendant d’un paramètre

{m}

. On l’inverse, on la diagonalise, et on approche un vecteur propre de

{A}

pour la valeur propre de plus grand module.

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Diagonalisation d’une matrice en Z

(Oral Centrale)
Soit

{Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, définie par :

{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}

Prouver que

{Z_n}

est diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

Procéder à la diagonalisation efffective de

{Z_n}

.
Donner l’exemple de

{n=5}

{n=6}

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Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent

{M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}}

avec

{M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}

.
Soit

{\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}}

{R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}

.
Montrer :

{\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}

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Diagonalisabilité et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension

{n}

.
Soit

{\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})}

une base de

{E}

.
Soit

{u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i}

{f\in\mathcal{L}(E)}

défini par :

{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}

Trouver les éléments propres de

{f}

{f}

est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?

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Une diagonalisation très particulière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Diagonaliser la matrice

{A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{pmatrix}}

➡️

Avec ou sans polynôme caractéristique?

(Oral Centrale 2018)
Diagonalisabilité dans

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

{A=\begin{pmatrix}\lambda & -a & 0 \\ -\alpha & \mu & -b \\ 0 & -\beta & \nu\end{pmatrix}}

où

{\begin{cases}a\alpha >0\\b\beta >0\end{cases}}

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Réduction d’une matrice en ᒧ

(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ

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Réduction de matrices à paramètres

Diagonaliser les matrices

{M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a\end{pmatrix}}

, pour

{(a,b,c)\in\mathbb{K}^3}

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Récurrence vectorielle

(Oral Ccp)
On étudie une récurrence vectorielle

U_{n+1}=AU_{n}

en diagonalisant la matrice

A

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Diagonalisation d’une matrice en zig-zag

(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre

2n

) :

{A_n=}

{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices

B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C})

telles que

{B^2=}

{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}

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Racines carrées d’une matrice

(Oral Ccem)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

telles que

{A^{2}=B=}

{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}

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Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

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Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

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Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

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Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

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Inversibilité et déterminant

(Oral Tpe)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

a_{i,j}=1

j\equiv i\!+\!1\ [n]\!

, et

a_{i,j}=0

sinon.
Inversibilité de

{B_p=\displaystyle\sum_{m=0}^{p-1}A^{m}}

, et calcul de

{\det(B_p)}

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