Diagonalisation effective

Exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Réduction des endomorphismes », dans la catégorie « Diagonalisation effective »

Réduction endomorphisme matriciel

(Oral Ccp)
Soit

{\varphi\colon{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K})\rightarrow{\mathcal M}_{2}(\mathbb{K}),\;\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} d&a\\ b&c\end{pmatrix}}

.
L’endomorphisme

{\varphi}

est-il diagonalisable ?

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

(Oral X-Cachan Psi)
Soient

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, diagonalisables dans

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

.
Soit

\varphi_{A,B}

l’endomorphisme de

\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})

défini

\varphi_{A,B}(M)=AM+MB

.
Dans cet exercice, on montre (de deux manières différentes) que l’endomorphisme

\varphi_{A,B}

est diagonalisable et on en donne une base de diagonalisation.