Mathprepa Exercices corrigés
Trace et égalité matricielle
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} avec {A^3+A^2+A+I_n=0}. Montrer que {\text{tr}(A)\leq 0}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} avec {A^3+A^2+A+I_n=0}. Montrer que {\text{tr}(A)\leq 0}.
Réduction d’une matrice symétrique
(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser {A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} où {a_{i,j}=1} si {i\ne j}, et {a_{i,i}=i}.
Diagonaliser {A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} où {a_{i,j}=1} si {i\ne j}, et {a_{i,i}=i}.
Puissances d’une matrice 3×3
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}}. Calculer {A^n} pour {n\in\mathbb{N}}.
Soit {A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}}. Calculer {A^n} pour {n\in\mathbb{N}}.
Somme de lois de Poisson
(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes {\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}
Donner la loi de {Z = X + Y}.
Donner celle de {X} sachant {(Z = n)}.
Soient les v.a.r. indépendantes {\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}
Donner la loi de {Z = X + Y}.
Donner celle de {X} sachant {(Z = n)}.
Deux déterminants reliés
(Oral X-Cachan)
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Avec A,M dans \mathcal{M}_4(\mathbb{K}), on calcule AM et \det(A) pour en déduire \det(M).
Endomorphisme intégral
(Oral Tpe et Ensam)
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Égalité matricielle et valeurs propres
(Oral Tpe)
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} vérifiant : {A^2+A+4I_n=0}.
Calculer le déterminant et la trace de {A} en fonction de n.
Soit {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} vérifiant : {A^2+A+4I_n=0}.
Calculer le déterminant et la trace de {A} en fonction de n.
Dérivabilité dun produit infini
(Oral Centrale)
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Suite des itérées d’une fonction
(Oral Centrale)
Convergence sur [0,1]de la suite des itérées de {\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}
Convergence sur [0,1]de la suite des itérées de {\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}
Diagonalisation par blocs
(Oral Centrale)
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
Soient {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} et {B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
Tirages dans une urne
(Oral Ccp)
Dans une urne de {n\!-\!1} boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang T d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.
Dans une urne de {n\!-\!1} boules noires et une blanche, on effectue des tirages successifs (avec ou sans remise).
On demande la loi du rang T d’apparition de la boule blanche, son espérance et sa variance.
Convergence d’une suite de fonctions
(Oral Ensam)
Soit {h} une fonction continue sur [0,\pi/2].
Étudier la convergence de la suite de fonctions {f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
Soit {h} une fonction continue sur [0,\pi/2].
Étudier la convergence de la suite de fonctions {f_n\,\colon x\in[0,\pi/2]\mapsto h(x)(\sin x)^n}.
Trace de M → AMB
(Oral Ensam)
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
Calculer la trace de \Phi\colon M\mapsto AMB
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
Calculer la trace de \Phi\colon M\mapsto AMB
Égalité matricielle et déterminant
(Oral Ensam)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} telle que {A^3+A-I_n=0}. Montrer que {\det(A)>0}.
Matrice inversible? diagonalisable?
Deux sommes directes
(Oral Centrale)
Soient {f,g\in\mathcal{L}(E)}, avec \dim(E)\lt+\infty et {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que les deux sommes sont directes.
Soient {f,g\in\mathcal{L}(E)}, avec \dim(E)\lt+\infty et {E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}.
Montrer que les deux sommes sont directes.
Le cousin de Vandermonde
(Oral Centrale)
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Soit {(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}. Calculer le déterminant {\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}.
Dérivabilité de la fonction Zeta
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.
Domaine, caractère \mathcal{C}^{\infty}, et limites aux bornes de {\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}.