QCM (dérivation)
Un questionnaire sur le thème « Dérivation ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Dérivabilité
QCM (continuité et dérivabilité)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 13 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « continuité et dérivabilité ».
Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Une comparaison de moyennes
(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre {p}) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.
Zéros d’un polynôme de Maclaurin
(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.
Racines de dérivées n-ièmes
(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées {n}-ièmes des fonctions définies par {f(x)=exp(1/(1-x^2))} et {g(x)=exp(1/(1+x^2))}.
Un exercice Rock’n’Rolle
(Oral Tpe)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Une équation intégrale
(Oral Mines-Ponts)
On considère l’équation d’inconnue {f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})} :{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}
Montrer que toute solution {f} est {C^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer toutes les solutions de {(E)}.
On considère l’équation d’inconnue {f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})} :{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}
Montrer que toute solution {f} est {C^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer toutes les solutions de {(E)}.
Une équation fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Fonctions convexes (2/2)
Exercices sur le thème « fonctions convexes » (2/2)
Fonctions convexes (1/2)
Exercices sur le thème “fonctions convexes” (1/2)
Égalités ou inégalités de Taylor
Exercices sur le thème « Égalités ou inégalités de Taylor »
Accroissements finis
Exercices sur le thème « inégalité ou égalité des accroissements finis ».
Utilisation du théorème de Rolle (2/2)
Exercices sur le thème « utilisation du théorème de Rolle » (2/2)
Utilisation du théorème de Rolle (1/2)
Exercices sur le thème « utilisation du théorème de Rolle » (1/2)
Fonction dérivée
Exercices sur le thème « fonction dérivée »
Deux encadrements
(oral Mines-Ponts)
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Théorème de Darboux
Soit {f} une application dérivable sur {[a,b]}.
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Une équation fonctionnelle
(oral Mines-Ponts)
Trouver les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} dérivables en 0 telles que:
{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}
Trouver les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} dérivables en 0 telles que:
{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2},\;{f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)\quad(\star)}