Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2^nd est d’une couleur différente du 1^er, on le retourne. On étudie le nombre

{X_{k}}

de faces bleues après

{k}

étapes, et la loi-limite de

X_k

quand

k\to+\infty

➡️

Somme d’une série numérique alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}

➡️

Spectre d’un opérateur shift

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

ayant une limite finie en

{+\infty}

.
Soit

{T\colon E \rightarrow E}

, défini par :

{T(f)(x)=f(x+1)}

.
Déterminer les valeurs propres de

{T}

➡️

Étude de séries entières

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

, sachant que

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|}

converge.
Étudier

{U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}}

{S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}

➡️

Série définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général

{u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 2

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur

{]-1,1[}

, l’équation différentielle :

{4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}

➡️

Un arc paramétré

(Oral Mines-Ponts)
Étudier l’arc :

{x(t) = \dfrac{t^{3}}{t^{2}-1},\;y(t)=\dfrac{1}{t^{3}-t}}

➡️

Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

➡️

Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2a}

boules blanches et

{a}

boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit

{X}

le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de

X

{E(X)}

(deux méthodes)

➡️

Inégalité et espérance mathématique

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{a\in[0, 1]}

{X}

une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que

{(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}

➡️

Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Dérivabilité de la fonction Zeta

Condition de diagonalisabilité

Convergence d’une série numérique

Diagonalisation d’une matrice 4×4

Diagonalisabilité et blocs

Endomorphisme et trace

Réduction d’une matrice par blocs

Séries de primitives

Équivalent d’une somme de série

Équa. diff. linéaire d’ordre 1

Jetons bicolores

Somme d’une série numérique alternée

Spectre d’un opérateur shift

Étude de séries entières

Série définie par une intégrale

Équa. diff. linéaire d’ordre 2

Un arc paramétré

Déplacements aléatoires sur un carré

Probabilités et urne bicolore

Inégalité et espérance mathématique