Intégration
Exercices corrigés sur le thème « intégration » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

➡️

Équivalents et intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\delta\in\,]\,0,1[}

. Donner un équivalent de

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t}

{+\infty}

➡️

Intégrale et séries numériques

(Oral Ccp)
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t\ln^{2}(t)}{(1-t)^{2}}\text{d}t=2\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}-\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}

➡️

Intégrale généralisée et série

(Oral Mines)
Montrer que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}}

➡️

Interversion série-intégrale

(Oral Ccp et Centrale)
On suppose

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}

. Soit

{f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}

➡️

Spectre d’un endomorphisme intégral

(Oral Ccp)
Soit

{E={\mathcal C}([-\pi,\pi ],\mathbb{R})}

.
Éléments propres de

\Phi

définie sur

E

par

{\Phi(f)(x)=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x-t)f(t)\,\text{d}t}

➡️

Séries de primitives

(Oral Ensam et Centrale)
Soit

{f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})}

et :

{\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}

Montrer que

{\displaystyle\sum f_n}

converge, et déterminer sa somme

➡️

Équivalent d’une somme de série

(Oral Ensam)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\text{e}^{-n^2x^2}}

et équivalent en

{0^+}

➡️

Série définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général

{u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}

➡️

Chebyshev et produit scalaire

(Oral X-Cachan Psi)
On munit

{{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}

On définit les

{U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}

.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin

{f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}}

par un polynôme de degré

{\le 2}

➡️

Minimum d’une intégrale à paramètre

(Oral X-Cachan Psi)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}t}{t^{x}(1+t)}}

.
Étudier

{f}

sur son domaine, et trouver son minimum.

➡️

Demi-dérivée d’une fonction continue

(Oral X-Cachan)
Si

{f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}

, soit

{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}

.
La dérivée de

{\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}

, notée

{\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)}

est appelée demi-dérivée de

{f}

. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions

f

➡️

Suite d’intégrales à paramètre

(Oral X-Cachan)
Soit

{\varphi\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}

, continue et bornée. On pose :

{\varphi_{n}(x) = \dfrac{n}{\sqrt\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)\,\text{e}^{-n^{2}(x-y)^{2}}\,\text{d}y}

.
On montre que les

{\varphi_{n}}

sont

{{\mathcal C}^{1}}

et CVS vers

{\varphi}

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Itérés d’un opérateur à noyau

(Oral X-Cachan)
Soit

{K\in {\mathcal C}^{0}([a,b]^{2},\mathbb{C})}

avec

{K(x,y) = 0}

{x\le y}

.
À

{u\in{\mathcal C}^{0}([a,b],\mathbb{C})}

, on associe

{v=T_{K}(u)}

définie par :

{\forall\, x\in[a,b],\;v(x)=\displaystyle\int_{a}^{b}K(x,y)\,u(y)\text{d}y}

.
On étudie les itérés de

T_K

➡️

Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale)
On cherche les

{f:\mathbb{R}^{+*}\rightarrow \mathbb{R}}

telles que :

{\displaystyle\lim_{+\infty}f= 0\text{\ et \ }\forall x\gt0,\;f(x\!+\!1)\!+\!f(x)\!=\!\dfrac{1}{x}}

On montre l’existence et l’unicité de la solution

{f}

.
On en donne l’expression sous la forme de la somme d’une série de fonctions.

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
Soit

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{e}^{-t^{2}x}}{1+t^{2}}\,\text{d}t\;}

.
On étudie son domaine

\mathcal{D}

, sa dérivabilité, et le comportement aux bornes.

➡️

Interversion série-intégrale

(Oral Centrale)
Soit

{(u_n)}

une suite croissante de

{\mathbb{R}^{+*}}

, divergente.
Montrer que :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}

➡️

Suite d’intégrales et série

(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des

{f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}}

sur

{]0,1[}

.
On note

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}

. Déterminer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}

.
2. Montrer que

{I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

.
En déduire un équivalent de

{I_{n}}

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Calcul d’une intégrale

(Oral Ensam)
Existence et calcul de l’intégrale

{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x-1}{\ln(x)}\text{d}x}

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Ensam)
Étudier

{x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\arctan (xt)}{t(1+t^2)}\,\text{d}t}

➡️