Concours Mines-Ponts
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Orthogonale ⇆ antisymétrique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Montrer que

{M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)}

est orthogonale positive.
Montrer que

{A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}

➡️

Puissances de polynômes annulateurs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de

{A}

est lui même un polynôme annulateur de

{A}

➡️

Indépendance de X⁺ et X^–

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une variable telle que

{X(\Omega )=\mathbb{Z}}

.
On pose

{X^{+}=\max (X,0)}

{X^{-}=\min (X,0)}

{X^+,X^-}

sont-elles indépendantes ?

➡️

Loi d’une somme de v.a.r

(Oral Mines-Ponts 2018)
On demande la loi de la somme de

{n}

v.a.r. indépendantes de même loi.

➡️

Majoration d’une probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(A_{k})_{1\leq k\leq n}}

des événements mutuellement indépendants. Soit

{B}

l’événement :
« aucun des événements

{A_k}

n’est réalisé ».
Montrer que

{\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}

➡️

Équivalent d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Déterminer le rayon de

{f}

, et

{\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}f(x)}

.
En déduire un équivalent de

{f}

{+\infty}

➡️

DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

➡️

Un ouvert union de boules fermées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un ouvert d’un evn

{E}

de dimension finie.
Montrer que

{\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)}

est un ouvert.

➡️

Tr(uv), avec u,v symétriques positifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

euclidien. On suppose que

{u,v}

sont à spectre positif. Montrer que

{\text{tr}(uv)\geq 0}

➡️

Équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, à spectres disjoints. Montrer que

{\chi_{A}(B)}

est inversible.
Soit

{Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer

{\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}

➡️

Adhérence des matrices diagonalisables

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est l’ensemble des matrices trigonalisables.

➡️

Vect des matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{n\geq 2}

, et

{\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}

. Déterminer Vect

{(\mathcal{N})}

➡️

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

➡️

Une condition de nilpotence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. Alors

{M}

est nilpotente

{\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}

➡️

Une base de K_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{P\in \mathbb{K}[X]}

, de degré

{n}

, et soient

{a_{0},...,a_{n}}

distincts dans

{\mathbb{K}}

.
Montrer que les polynômes

{P_j(X)=P(X+a_{j})}

forment une base de

{\mathbb{K}_{n}[X]}

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Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}

. Équivalent de

f

0

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Une factorisation de polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{n\in \mathbb{N}^{\ast }}

. On considère le polynôme :

{\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}

Trouver les racines de

{P_n}

et le factoriser dans

{\mathbb{C}[X]}

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Tirage de boules impaires

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2n}

boules numérotées de

{1}

{2n}

.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.

➡️

Variations d’une série de fonctions

(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}

.
Dérivabilité de

{f}

, et équivalent en

{0}

et en

+\infty

➡️