Calcul matriciel

Exercices corrigés de calcul matriciel pour Mpsi Pcsi, et pour Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.

Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable

On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.