Convergence de séries de fonctions

(Oral Centrale 2018)
Soit l’équation {(E)}: {f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.
Déterminer les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)}
Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}} vérifie {(E)}
Montrer que {S} n’est pas {\mathcal{C}^{2}}

(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}} décroissante.
On pose {u_{n}(x)=a_{n}x^{n}(1-x)}.
Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge simplement sur {[0,1]}.
Donner une CNS de convergence normale (resp. uniforme) de cette série sur {[0,1]}.