Série de fonctions et intégrales
(Oral Centrale) On définit une suite de polynômes (de Hilbert), et la suite {a_n} de leurs intégrales sur {[0,1]}. Par des techniques d’intégration et de séries, on calcule un équivalent de {a_n}.
Convergence de séries de fonctions
Série de fonctions et Fibonacci
(Oral Centrale) On étudie la somme de la série de fonctions {\sum x^n/(1-x^n)}. On termine par une expression de la série des {1/F_{2n}}, où {F} est la suite de Fibonacci.
Une série de fonctions
Oral Centrale) On définit la fonction {\varphi(u)=u(1-u^2)/(1+u^2)}, et on étudie la série de fonctions {\sum\varphi(x^n)} (domaine, continuité, équivalent).
Série de fonctions ou série entière ?
(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de {f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}
Montrer que {f} est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?
Domaine et régularité de {f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}
Montrer que {f} est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?
Exemples de séries de fonctions
Exercices sur le thème « séries de fonctions ».
Une équation fonctionnelle
(Oral Centrale 2018)
Soit l’équation {(E)}: {f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.
Déterminer les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)}
Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}} vérifie {(E)}
Montrer que {S} n’est pas {\mathcal{C}^{2}}
Soit l’équation {(E)}: {f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.
Déterminer les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)}
Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}} vérifie {(E)}
Montrer que {S} n’est pas {\mathcal{C}^{2}}
Convergence d’une série de fonctions
(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}} décroissante.
On pose {u_{n}(x)=a_{n}x^{n}(1-x)}.
Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge simplement sur {[0,1]}.
Donner une CNS de convergence normale (resp. uniforme) de cette série sur {[0,1]}.
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}} décroissante.
On pose {u_{n}(x)=a_{n}x^{n}(1-x)}.
Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge simplement sur {[0,1]}.
Donner une CNS de convergence normale (resp. uniforme) de cette série sur {[0,1]}.
Série de fonctions et série entière
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}.
Domaine, continuité et limites aux bornes de {\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}
On note {u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}.
Domaine, continuité et limites aux bornes de {\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}
Étude de série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer le domaine de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}.
Étudier la continuité et le caractère {\mathcal{C}^{1}} de {f}.
Déterminer le domaine de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}.
Étudier la continuité et le caractère {\mathcal{C}^{1}} de {f}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Domaine, continuité, dérivabilité de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}.
Donner un équivalent de {f} en {0}.
Racines du polynôme dérivé (bis)
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}. Équivalent de f en 0.
Étude de la fonction {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}. Équivalent de f en 0.
Régularité d’une série de fonctions
On étudie la régularité de {\displaystyle\sum\limits f_n}, où : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}
Séries de fonctions trigonométriques
On étudie la série de fonctions {\displaystyle\sum_{n\ge0} f_n}, où : {\forall\, x\in[0,\pi],\;f_n(x)=\sin x\,\cos^nx}
La série de fonctions ∑(-1)n/√(n+x)
Domaine et variations de {S\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+x}}}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Ccp)
Convergence (simple, uniforme) et limite en 0^+ de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}.
Convergence (simple, uniforme) et limite en 0^+ de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}.
Variations d’une série de fonctions
(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.