Convergence de séries de fonctions

On trouvera ici les exercices corrigés de Mathprepa, pour le chapitre « Suites et séries de fonctions », sur le thème « Convergence de séries de fonctions ».

Série de fonctions ou série entière ?

(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de

{f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}

Montrer que

{f}

est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?

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Exemples de séries de fonctions

Exercices sur le thème « séries de fonctions ».

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Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale 2018)
Soit l’équation

{(E)}

{f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)}

d’inconnue

{f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}

.
Déterminer les solutions

{\mathcal{C}^{2}}

{(E)}

Montrer que

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}}

vérifie

{(E)}

Montrer que

{S}

n’est pas

{\mathcal{C}^{2}}

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Convergence d’une série de fonctions

(Oral Centrale 2018)
Soit

{(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}}

décroissante.
On pose

{u_{n}(x)=a_{n}x^{n}(1-x)}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum u_{n}}

converge simplement sur

{[0,1]}

.
Donner une CNS de convergence normale (resp. uniforme) de cette série sur

{[0,1]}

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Série de fonctions et série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

est développable en série entière sur

{]-1,1[}

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Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que

{I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma}

(constante d’Euler)

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Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note

{u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}

.
Domaine, continuité et limites aux bornes de

{\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}

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Étude de série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer le domaine de

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}

.
Étudier la continuité et le caractère

{\mathcal{C}^{1}}

{f}

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Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

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Racines du polynôme dérivé (bis)

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}

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Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}

. Équivalent de

f

0

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Régularité d’une série de fonctions

On étudie la régularité de

{\displaystyle\sum\limits f_n}

, où :

{\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}

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Séries de fonctions trigonométriques

On étudie la série de fonctions

{\displaystyle\sum_{n\ge0} f_n}

, où :

{\forall\, x\in[0,\pi],\;f_n(x)=\sin x\,\cos^nx}

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La série de fonctions ∑(-1)ⁿ/√(n+x)

Domaine et variations de

{S\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+x}}}

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Une série de fonctions alternée

(Oral Ccp)
Convergence (simple, uniforme) et limite en

0^+

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{x}\ln\left (1+\dfrac{x}{n}\right )}

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Variations d’une série de fonctions

(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}

.
Dérivabilité de

{f}

, et équivalent en

{0}

et en

+\infty

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Continuité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et continuité de

{\displaystyle\sum \dfrac{1}{1+e^{nx}}}

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Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Convergence et caractère

{{\mathcal C}^1}

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}

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Suite puis série de fonctions

Étudier la suite puis la série des

{h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}

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Série de fonctions, étude aux bornes

(Oral Ccp)
Pour

{|a|\lt1}

x\gt0

, étudier

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}

, notamment en

0^+

+\infty

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