Séries entières et sommes harmoniques
(Oral centrale) On étudie une méthode de calcul de la somme de la série entière {\sum P(n)H_nx^n}, où {P} est un polynôme et où {H_n} est le {n}-ième nombre harmonique.
Sommes de séries entières
Séries entières à coefficients 0 ou 1
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.
Série entière et matrice circulante
(Oral Centrale) On définit une famille de séries entières, base de l’espace des solutions de {y^{(n)}=y}. On calcule un déterminant circulant associé.
Série entière et suite de Fibonacci
(Oral Centrale) On définit la suite de Fibonacci et une suite de polynômes associés. On étudie ensuite une série entière reliée à cette suite de polynômes.
Une somme (bis) de série entière
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
Somme d’une série entière
(Oral Centrale) On calcule ici la somme d’une série entière, par des techniques de calcul intégral et d’interversion somme/intégrale. Très classique.
Série des inverses des nombres de Catalan
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.
Opérateur Δ sur les polynômes
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
Série entière à la Wallis
(Oral Mines-Ponts)
Pour tout {n\ge\mathbb{N}}, on pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}.
Étudier la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}.
Pour tout {n\ge\mathbb{N}}, on pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}t\,\text{d}t}.
Étudier la série entière {\displaystyle\sum_{n\ge0}a_nx^n}.
Séries entières trigonométriques
(Oral Mines-Ponts)
Soient {\theta \in\,]0,\pi[}. On pose : {f(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos n\theta}{n}z^{n}\,\text{et}\,g(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\theta }{n}z^{n}}Rayon et somme de ces deux séries entières.
Soient {\theta \in\,]0,\pi[}. On pose : {f(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos n\theta}{n}z^{n}\,\text{et}\,g(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\theta }{n}z^{n}}Rayon et somme de ces deux séries entières.
Suite récurrente et série génératrice
(Oral Centrale 2018)
Soit {(u_{n})} une suite telle que : {\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}.
Montrer : {\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}.
Trouver le rayon {R} et la somme {S} de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}.
Soit {(u_{n})} une suite telle que : {\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}.
Montrer : {\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}.
Trouver le rayon {R} et la somme {S} de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}.
Nombres de Bell
(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.
Séries entières, rayons et sommes
Cinq exercices sur le thème « convergence et somme de séries entières »
Rayons et sommes de séries entières
Cinq exercices sur le thème « Rayon et somme de séries entières ».
Série entière, équation différentielle
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Une somme de série entière
(Oral Ccp)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}, où {a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}
Rayon et somme de {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}, où {a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}
Une série entière millésimée
(Oral Mines Ponts)
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Une somme de série entière
(Oral Mines-Nancy)
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Rayon et somme d’une série entière
(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Une somme de série entière
Pavage par des dominos
On s’intéresse au nombre u_n de façons de remplir un rectangle 4\times n par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}. On écrit une fonction Python calculant {u_n}. On donne une expression des u_n et on étudie leur série génératrice.
Involutions et séries entières
(Oral Centrale)
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.