Réduction des endomorphismes

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Réduction des endomorphismes ».

Endomorphismes tels que f² = -Id

(Oral Xcachan)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie. Soit

{f\in\mathcal{L}(E)}

avec

{f^2=-\text{Id}_{E}}

. On montre que dans une certaine base de

E

la matrice de

f

est diagonale par blocs égaux à

{R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

➡️

Diagonalisation et polynômes

(Oral Ccp)
Montrer que

{\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)}

est diagonalisable dans

{\mathbb{R}_{n}[X]}

➡️

Racine carrée matricielle

(Oral Ccp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

de matrice

{A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}}

dans la base canonique.
Existe-t-il

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

telle que

g^2=f

➡️

Diagonalisabilité d’une matrice 4×4

(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de

{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}}

où

{bcd\neq 0}

➡️

Encore les quatre spots lumineux

(Oral X-Cachan)
Suite de l’exercice : « quatre spots lumineux »
On étudie la distribution limite d’une chaîne de Markov homogène à quatre états.

➡️

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

➡️

Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}

➡️

Trace et diagonalisation

(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de

{\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}

➡️

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit

{X_1,X_2,Y}

trois v.a.r. indépendantes.
On suppose

{\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}

, et

{\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}

On pose

{M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}

.
Probabilité que

{M}

soit diagonalisable dans

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})

➡️

Une condition d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
On suppose

\dim(E)=n

. Soit

{f\in \text{GL}(E)}

, et

{g\in \mathcal{L}(E)}

avec

{\text{rg}(g)=1}

.
Montrer que

{f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}

➡️

A⁴=A² et diagonalisabilité

(Oral XCachan Psi)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. On suppose que

{-1,1}

sont valeurs propres de

{A}

, et que

{A^{4}=A^{2}}

.
Si

n=3

, montrer que

{A}

est diagonalisable. Et si

{n\ge4}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices

B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C})

telles que

{B^2=}

{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}

➡️

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Ccem)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

telles que

{A^{2}=B=}

{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Ccp)
Soient

f,u,v

dans

{{\mathcal L}(E)}

tels que

{f^k=a^ku+b^kv}

avec

a,b

non nuls, et

0\le k\le 2

.
Montrer que

{f}

est diagonalisable.

➡️

Diagonalisabilité de A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

une matrice telle que

{A^{2}}

soit diagonalisable.
Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si

{\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}

.
Étudier le cas où la matrice

A

est antisymétrique réelle.

➡️

Une condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Soient

{\lambda,\mu}

dans

{\mathbb{C}}

, distincts et non nuls.
On suppose que

{I_{n}= A + B}

{M = \lambda A + \mu B}

, et

{M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}

.
Montrer que

{A,B}

sont des projecteurs et que

M

est diagonalisable.

➡️

Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))}

définie par

{\varphi(M)=AMB}

.
Montrer que si

A,B

sont diagonalisables,

\varphi

est diagonalisable (deux méthodes)

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

{m_{i,j} = b}

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

➡️