Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Structure de groupe

Soit

{G}

un ensemble muni d’une loi produit associative telle que :
– Il existe un élément

{e}

{E}

tel que:

{\forall x\in E,\;xe=x}

– Pour tout

{x}

{E}

, il existe un

{x'}

dans

{E}

tel que

{xx'=e}

Montrer que

{G}

est un groupe.

➡️

Une conséquence de ||u(x)|| ≤ ||x||

(Oral Ccp)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que :

{\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}

.
Montrer que

{E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}

➡️

Un calcul d’extremums

(Oral Mines-Ponts Psi)
Préciser les extremums sur

{\mathbb{R}^{3}}

{f(x,y,z)=x^{2}\!+\!y^{2}\!+\!z^{2}\!- \!2xyz}

➡️

Somme de projecteurs orthogonaux

(Oral Centrale)
Soient

{p}

{q}

deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien

{E}

.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de

{u = p + q}

est scindé.
2. Montrer que

{\text{Sp}(u)\subset[0,2]}

.
3. Déterminer

{\text{Ker}(u)}

{\text{Ker}(u - 2\text{Id})}

➡️

Une approximation quadratique

(Oral Ccp)
On munit

\mathbb{R}[X]

du produit scalaire :

{\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

Calculer

{\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)}

pour

{(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}

Pour

{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}

, on pose :

{f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

Déterminer le minimum de

f

sur

{\mathbb{R}^{n}}

➡️

Un orthogonal non supplémentaire

On munit

{E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})}

du produit scalaire

{\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}

Soit

{\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\[3pts]G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}

Montrer que

{\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ }

mais que

F

G

ne sont pas supplémentaires dans

E

➡️

Entiers premiers 4m-1

Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme

{4m-1}

➡️

Entiers premiers 4m+1

Montrer qu’il existe une infinité d’entiers premiers de la forme

{4m+1}

➡️

Une urne bicolore

Une urne contient

{a}

boules blanches et

{b}

boules noires. On retire une à une et sans remise les boules de l’urne. Soit

{X}

la variable aléatoire indiquant le nombre de tirages effectués jusqu’au retrait des

{a}

boules blanches. Déterminer la loi de

{X}

. Calculer

{\text{E}(X)}

{\text{V}(X)}

➡️

Somme de coefficients binomiaux

Soient

{p,q\in\mathbb{N}}

. Montrer que :

{\displaystyle\sum_{k=p}^{q}\displaystyle\binom{k}{p}=\displaystyle\binom{q+1}{p+1}}

➡️

Polynômes positifs sur IR+

(oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{R} [X]}

. Montrer que

{(a)\Leftrightarrow(b)}

:
(a)

{\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}

(b)

{\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}

➡️

Série et produit infini

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{x\in\,\mathbb{R}^{+*}}

. On pose :

{u_{n}=\dfrac{n!}{x^{n}}\,\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{x}{k}\Bigr)}

.
Préciser

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n(x)}

.
Étudier la convergence de

{\displaystyle\sum\Bigl(v_{n}-\alpha\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\Bigr)}

.
En déduire qu’il existe

{A > 0}

tel que

{u_{n}\underset{+\infty}{\sim} An^{\alpha}}

➡️

Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient

{n\in\,\mathbb{N}^*}

{p\in\{1,\ldots ,n\}}

. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

formée de matrices de rang

{p}

➡️

Intégrale et série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
On pose

f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n+x}

g(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^{x-1}}{t+1}\text{d}t

.
Comparer

f

g

sur

{\mathbb{R}^{+*}}

➡️

Égalité AC=CB avec C de rang r

(Oral Centrale)
Soient

A, B,C\in\, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

avec

AC=CB

soit

r=\text{rg}(C)

. Montrer que

A,B

ont au moins

r

valeurs propres en commun (comptées avec leur ordre de multiplicité).

➡️

La somme des xⁿ/(3n+1)

(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{3n+1}}

➡️