Mathprepa Exercices corrigés
Matrices bistochastiques, épisode 7
Matrices bistochastiques, épisode 6
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Matrices bistochastiques, épisode 5
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Matrices bistochastiques, épisode 4
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Matrices bistochastiques, épisode 3
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.
Matrices bistochastiques, épisode 2
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
Matrices bistochastiques, épisode 1
Soit {A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que A est {\mu}–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.
On dit que A est {\mu}–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.
Question de point fixe
(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.
Forme linéaire, matrices semblables
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A,\;\forall\, M,\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}
2. On suppose : {\forall M,\,\forall P \in \text{GL}_{n},\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M,\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.
Soit {\varphi} une forme linéaire sur {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}.
1. Montrer : {\exists\,!\,\,A,\;\forall\, M,\;\varphi(M)=\text{tr}(AM)}
2. On suppose : {\forall M,\,\forall P \in \text{GL}_{n},\varphi(P^{-1}MP)=\varphi(M)}\quadMontrer : {\exists\,\lambda\in\mathbb{C},\;\forall\, M,\;\varphi(M) = \lambda\,\text{tr}(M)}.
Interversion série-intégrale
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}
Soit {(u_n)} une suite croissante de {\mathbb{R}^{+*}}, divergente.
Montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl( \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^ne^{-u_nx}\biggr)\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^n}{u_n}.\quad}
DSE de arctan(1+x)
Rang d’une matrice par blocs
Soit {M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}.
Montrer que : {\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}
Montrer que : {\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}
Un déterminant et un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Soient {a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}} distincts.
Calculer : {P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}
Inversion d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.
Soit {M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}} où {m_{i,j}=0} si {j>i} et {m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}} si {j\leq i}.
Calculer l’inverse {M^{-1}} de la matrice M.
La comète de Goldbach
La conjecture de Goldbach affirme que tout entier pair {n\ge4} peut s’écrire comme la somme de deux entiers premiers. On appelle comète de Goldbach le nuage des points {(k,g(k))}, où {k} décrit les entiers pairs dans un certain intervalle {[4,n]} et où {g(k)} désigne le nombre de façons d’écrire {k} comme la somme de deux nombres premiers. Dans cet article, on écrit les fonctions Python utiles pour produire le tracé de cette comète.
Suite d’intégrales et série
(Oral Ccp)
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
1. Intégrabilité des {f_{n}\,\colon x\to \dfrac{x^{2n+1}\ln(x)}{x^{2}-1}} sur {]0,1[}.
On note {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\text{d}x}. Déterminer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}}.
2. Montrer que {I_{n}=\displaystyle\dfrac{1}{4}\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}.
En déduire un équivalent de {I_{n}}.
Une série de fonctions
(Oral Centrale)
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
Théorème de Darboux
Soit {f} une application dérivable sur {[a,b]}.
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Une suite de fonctions
(Oral Ccp)
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*}, {f_n:x\mapsto x\,n^{1-x^2}}.
Convergence simple et uniforme de la suite (f_n)_{n\geq 1\quad}
Soit, pour {n\in\mathbb{N}^*}, {f_n:x\mapsto x\,n^{1-x^2}}.
Convergence simple et uniforme de la suite (f_n)_{n\geq 1\quad}