| (Oral Centrale) Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie. Soit {K\subset E} un fermé borné non vide. Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}. 2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}. \quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}. |