Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})}

telle que :

{\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}

{M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}

Montrer que la matrice

{M}

est diagonalisable.

➡️

Convergence d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Condition sur

{P\in\mathbb{R}[X]}

pour que

{\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)}

converge.

➡️

Diagonalisation d’une matrice 4×4

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab& ab&a^2\end{pmatrix}}

, où

(a,b)\in\mathbb{C}^2

➡️

Réduction d’une matrice par blocs

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}

➡️

Équivalent d’une somme de série

(Oral Ensam)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\text{e}^{-n^2x^2}}

et équivalent en

{0^+}

➡️

Élimination de jetons sur un cercle

(Oral Ensam)
On dispose en cercle

{n}

jetons numérotés de

{0}

{n- 1}

(comme sur le cadran d’une horloge). On retire le jeton numéro

{0}

, puis un sur deux en parcourant le cercle jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un seul jeton. On étudie ici le numéro du dernier jeton restant.

➡️

Déterminant et coefficients binomiaux

(Oral Ensam)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{p+1}(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j} =\dbinom{m+i}{j}}

.
Calculer

{\det(A)}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 1

(Oral Ensam)
Résoudre l’équation différentielle

{(E):\ x(1 - x^{2})y'+(2x^{2} - 1)y = x}

➡️

(Oral Ensam)
Soit n jetons bleus/blancs sur une table (b faces bleues visibles). On en prend deux jetons au hasard. Si le 2^nd est d’une couleur différente du 1^er, on le retourne. On étudie le nombre

{X_{k}}

de faces bleues après

{k}

étapes, et la loi-limite de

X_k

quand

k\to+\infty

➡️

Somme d’une série numérique alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}

➡️

Spectre d’un opérateur shift

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

ayant une limite finie en

{+\infty}

.
Soit

{T\colon E \rightarrow E}

, défini par :

{T(f)(x)=f(x+1)}

.
Déterminer les valeurs propres de

{T}

➡️

Étude de séries entières

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

, sachant que

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|}

converge.
Étudier

{U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}}

{S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}

➡️

Série définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général

{u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 2

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur

{]-1,1[}

, l’équation différentielle :

{4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}

➡️

Mathprepa Exercices corrigés

Condition de diagonalisabilité

Convergence d’une série numérique

Diagonalisation d’une matrice 4×4

Diagonalisabilité et blocs

Endomorphisme et trace

Réduction d’une matrice par blocs

Racine de matrice nilpotente

Séries de primitives

Équivalent d’une somme de série

Recherche de rep-units

Élimination de jetons sur un cercle

Déterminant et coefficients binomiaux

Rang et inégalités

Équa. diff. linéaire d’ordre 1

Jetons bicolores

Somme d’une série numérique alternée

Spectre d’un opérateur shift

Étude de séries entières

Série définie par une intégrale

Équa. diff. linéaire d’ordre 2