Mme Michu et les probabilités
Quatre exercices sur le thème « Mme Michu et les probabilités »
Mathprepa Exercices corrigés
Un dé, un python, un trinôme
On jette un dé trois fois (résultats {a,b,c}). Donner la probabilité pour que {aX^2+bC+c} ait deux racines réelles distinctes / une racine réelle double / pas de racine réelle.
Anagrammes d’abracadabra
Combien « abracadabra » a-t-il d’anagrammes? Quel est le moins probable?
Femmes célibataires non syndiquées
Dans une entreprise de 800 employés, il y a : 300 hommes, 352 syndiqué(e)s, 424 marié(e)s, 188 hommes syndiqués, 166 hommes mariés, 208 syndiqué(e)s et marié(e)s, 144 hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées?
Matrices stochastiques, valeurs propres
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, à coefficients dans {\mathbb{R}^{+*}}, la somme de chaque ligne valant {1}.
Montrer que {\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}, avec {\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}, à coefficients dans {\mathbb{R}^{+*}}, la somme de chaque ligne valant {1}.
Montrer que {\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}, avec {\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}.
Une série de fonctions
(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Série entière et coefficients binomiaux
(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
Série de fonctions, télescopique
(Oral Centrale)
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Domaine et expression de {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}.
Caractérisation de tr(A)=0
(oral Centrale)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Montrer : {\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}. Montrer : {\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}
Le commutant de GLn(ℂ)
(Oral Centrale)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Produit scalaire et déterminant
(Oral Ccp)
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Calcul de déterminant en Python
(Oral Centrale)
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Soit {A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}. Calculer {\det(A_n)}.
Une base de Cn[X]
(Oral Centrale)
On définit les polynômes {P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}, où {a\ne b,\; 0\le k\le n}.
Montrer qu’ils forment une base de {\mathbb{C}_n[X]}.
On définit les polynômes {P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}, où {a\ne b,\; 0\le k\le n}.
Montrer qu’ils forment une base de {\mathbb{C}_n[X]}.
Un développement en série entière
(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Un développement de arctan(x)
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Rayon et somme d’une série entière
(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Nombres de Bell, formule de Dobinksi
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Rayon(s) de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit R le rayon de {\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}, et {S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}.
Montrer : {R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}
Soit R le rayon de {\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}, et {S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}.
Montrer : {R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}
Une série de fonctions, alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.