Mathprepa Exercices corrigés

Cette page donne un accès à un millier d’articles du site Mathprepa (exercices corrigés tirés des oraux de X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Équivalents et intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\delta\in\,]\,0,1[}

. Donner un équivalent de

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t}

{+\infty}

➡️

Équivalents et polynômes

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P \in\mathbb{R} [X]}

. Trouver un équivalent de

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)}

quand

{n\to+\infty}

➡️

Diagonalisabilité de A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

une matrice telle que

{A^{2}}

soit diagonalisable.
Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si

{\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}

.
Étudier le cas où la matrice

A

est antisymétrique réelle.

➡️

Une condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Soient

{\lambda,\mu}

dans

{\mathbb{C}}

, distincts et non nuls.
On suppose que

{I_{n}= A + B}

{M = \lambda A + \mu B}

, et

{M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}

.
Montrer que

{A,B}

sont des projecteurs et que

M

est diagonalisable.

➡️

Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))}

définie par

{\varphi(M)=AMB}

.
Montrer que si

A,B

sont diagonalisables,

\varphi

est diagonalisable (deux méthodes)

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

{m_{i,j} = b}

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de

{S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}

➡️

Somme d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(3n)!}}

➡️

Étude d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par

u_1\gt0

et :

{\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}

➡️

Une limite de somme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{p \in\mathbb{R}}

. Étudier la suite

{n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}

➡️

Rayon de convergence de ∑ tr(A^k)z^k

(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Donner le rayon de

{\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}

➡️

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Endomorphisme et produit vectoriel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

dans

{E}

euclidien orienté de dimension

{3}

.
Déterminer les

{f\in\mathcal{L}(E)}

tels que

{x\wedge u}

f(x)

sont liés pour tout

{x\in E}

➡️

Réflexions conjuguées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{H_{1}, H_{2}}

deux hyperplans de

{E}

euclidien. On note

{s_{i}}

la réflexion par rapport à

{H_{i}}

.
Montrer que

{s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}

, où

{s_{3}}

est la réflexion par rapport à

{H_{3}=s_2(H_1)}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️

Matrice unipotente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\omega}

tel que

\omega^p=1

{\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}

.
Montrer que :

{M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

➡️