Réduction
Exercices corrigés sur le thème « réduction des matrices et des endomorphismes » pour Spé Mp, Pc, Psi (posés à Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Matrices stochastiques, valeurs propres

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, à coefficients dans

{\mathbb{R}^{+*}}

, la somme de chaque ligne valant

{1}

.
Montrer que

{\forall\, \lambda\in\text{Sp}(A),\;\left|\lambda\right|\le1}

, avec

{\left|\lambda\right|=1\Leftrightarrow \lambda=1}

➡️

Caractérisation de tr(A)=0

(oral Centrale)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Montrer :

{\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}

➡️

Produit scalaire et déterminant

(Oral Ccp)
Soit

{A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

. Montrer que :

{\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}

➡️

Valeurs propres extrémales

(Oral Mines-Ponts)
Inégalités entre valeurs propres extrémales de

u,v,u+v

, avec

u,v

symétriques.

➡️

Trace et égalité matricielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

avec

{A^3+A^2+A+I_n=0}

. Montrer que

{\text{tr}(A)\leq 0}

➡️

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j}=1}

{i\ne j}

, et

{a_{i,i}=i}

➡️

Puissances d’une matrice 3×3

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}}

. Calculer

{A^n}

pour

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Endomorphisme intégral

(Oral Tpe et Ensam)
Pour

{f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}

, soit

{\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}

.
On demande les éléments propres de

{\Phi}

➡️

Égalité matricielle et valeurs propres

(Oral Tpe)
Soit

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

vérifiant :

{A^2+A+4I_n=0}

.
Calculer le déterminant et la trace de

{A}

en fonction de

n

➡️

Diagonalisation par blocs

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

{B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Montrer que

B

est diagonalisable si et seulement si

A

est diagonalisable.

➡️

Égalité matricielle et déterminant

(Oral Ensam)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{A^3+A-I_n=0}

. Montrer que

{\det(A)>0}

➡️

Matrice inversible? diagonalisable?

(Oral Centrale)
On étudie l’inversibilité et la diagonalisabilité d’une matrice carrée d’ordre

4

➡️

Condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})}

telle que :

{\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}

{M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}

Montrer que la matrice

{M}

est diagonalisable.

➡️

Diagonalisation d’une matrice 4×4

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab& ab&a^2\end{pmatrix}}

, où

(a,b)\in\mathbb{C}^2

➡️

Diagonalisabilité et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Condition pour que

{B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}}

soit diagonalisable.

➡️

Endomorphisme et trace

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{f:M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr}(M)I_n-M}

➡️

Réduction d’une matrice par blocs

(Oral Ensam)
Éléments propres de

{A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}A&A&A\\A&A&A\\A&A&A\end{pmatrix}}

➡️

Spectre d’un opérateur shift

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

ayant une limite finie en

{+\infty}

.
Soit

{T\colon E \rightarrow E}

, défini par :

{T(f)(x)=f(x+1)}

.
Déterminer les valeurs propres de

{T}

➡️

Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

➡️

Réduction d’endomorphisme matriciel

(Oral Centrale)
Soit

A

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme

\varphi

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

défini par

{\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}

➡️