Trace et diagonalisation
(Oral Ccp)
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Préciser les éléments propres de {\Phi :M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})\mapsto \text{tr} (M)I_n +M}.
Mp/Pc/Psi
Un exercice très improbable
(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Caractère \mathcal{C}^1 ou \mathcal{C}^2 de S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}.
Une condition d’inversibilité
(Oral Mines-Ponts)
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
On suppose \dim(E)=n. Soit {f\in \text{GL}(E)}, et {g\in \mathcal{L}(E)} avec {\text{rg}(g)=1}.
Montrer que {f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}.
A4=A2 et diagonalisabilité
(Oral XCachan Psi)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. On suppose que {-1,1} sont valeurs propres de {A}, et que {A^{4}=A^{2}}.
Si n=3, montrer que {A} est diagonalisable. Et si {n\ge4}?
Racines carrées matricielles
(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Valeur propre commune
(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Montrer que deux matrices {A,B} de {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {U\ne0} dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} telle que {AU = UB}.
Racines carrées d’une matrice
(Oral Ccem)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Série entière et série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Un développement en série entière
Condition de diagonalisabilité
(Oral Ccp)
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Soient f,u,v dans {{\mathcal L}(E)} tels que {f^k=a^ku+b^kv} avec a,b non nuls, et 0\le k\le 2.
Montrer que {f} est diagonalisable.
Comparaison de rayons de CV
(Oral Mines-Ponts)
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Étude de rayons de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Une série entière millésimée
(Oral Mines Ponts)
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
CV uniforme d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Fonctions Zeta et Zeta alternée
(Oral Mines-Ponts)
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Soient {f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}} et {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}.
Étudier les domaines de {f} et {g}, les limites de {f} aux bornes, la continuité et la dérivabilité de {g}.
Donner une relation entre {f} et {g}, puis un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Une suite récurrente de fonctions
(Oral Mines-Ponts)
Sur {\mathbb{R}^{+}}, on pose {f_{0}=0} et {f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}.
Étudier la convergence de la suite (f_n)_{n\ge0}.
Sur {\mathbb{R}^{+}}, on pose {f_{0}=0} et {f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}.
Étudier la convergence de la suite (f_n)_{n\ge0}.
Équivalents et intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Diagonalisabilité de A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.