Égalité matricielle et trace
(Oral Mines-Ponts)
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Déterminer {\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}.
Mp/Pc/Psi
Diagonalisation d’une matrice en zig-zag
(Oral Ccp)
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.
Diagonaliser la matrice (d’ordre 2n) : {A_n=}{\begin{pmatrix}1 & 2n & 1 & \cdots & 2n \\ 2 & 2n-1 & 2 & \cdots & 2n-1 \\ 3 & 2n-2 & 3 & \cdots & 2n-2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 2n & 1 & 2n & \cdots & 1\end{pmatrix}}.
Diagonalisation et blocs
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Soit {A\in{\mathcal M}_{n+1}(\mathbb{C})} où {\begin{cases}a_{i,1}=a_{1,i}=\delta_{i-1}\text{\ si\ }2\le i\le n+1\\a_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Déterminer {\text{rg}(A)} et {\text{rg}(A^{2})}. La matrice {A} est-elle diagonalisable?
Transposition et diagonalisation
(Oral Ccp)
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Diagonalisabilité et trace de {\Phi\,\colon M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})\mapsto \varphi(M)=M+2{M}^{\top}}.
Loi définie par sa fonction génératrice
Diagonalisation et puissances
(Oral Ccp)
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Soit {M=(m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} où {\begin{cases}m_{i,j}=1\text{\ si\ }j\in\{1,i,n\}\\m_{i,j}=0\text{\ sinon}\end{cases}}
Diagonaliser {M}. Calculer {M^{p+1}} pour tout {p\ge0}.
Un problème de minimisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})} à valeurs propres strictement positives.
Soit {B\in \mathbb{R}^{n}}, et {f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}} définie par {f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}.
Montrer que {f} possède un minimum et le déterminer.
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})} à valeurs propres strictement positives.
Soit {B\in \mathbb{R}^{n}}, et {f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}} définie par {f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}.
Montrer que {f} possède un minimum et le déterminer.
Égalités dans un jeu à deux
(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Fonctions harmoniques homogènes
(Oral X-Cachan Psi)
Déterminer les {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})}, m-homogènes (m\in\mathbb{N}^*) et de laplacien nul.
Déterminer les {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})}, m-homogènes (m\in\mathbb{N}^*) et de laplacien nul.
Une matrice symétrique positive
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.
Spectre de MT M et de M MT
(Oral XCachan)
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Endomorphismes tels que f2 = -Id
(Oral Xcachan)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-ev de dimension finie. Soit {f\in\mathcal{L}(E)} avec {f^2=-\text{Id}_{E}}. On montre que dans une certaine base de E la matrice de f est diagonale par blocs égaux à {R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.
Diagonalisation et polynômes
(Oral Ccp)
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Montrer que {\Phi\colon P(X)\mapsto X^{n}P(1/X)} est diagonalisable dans {\mathbb{R}_{n}[X]}
Racine carrée matricielle
(Oral Ccp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Réduction d’une matrice symétrique
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Un endomorphisme symétrique
(Oral Ccp)
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
Diagonalisabilité d’une matrice 4×4
(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Diagonalisabilité de {\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}} où {bcd\neq 0}.
Indépendance de formes linéaires
(Oral Centrale)
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Équation différentielle de Legendre
(Oral X-Cachan Psi)
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Identifier une transformation de ℝ³
(Oral Ccp)
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?