Concours Mines-Ponts
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes suivant

{\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}

.
Donner la loi, l’espérance et la variance de

{Z\!=\!X\!-\!Y}

.
Calculer

{\text{Cov}(X,Z)}

et leur coefficient de corrélation.

➡️

Autour du lemme de Gronwall

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}

, croissante.
Soit

{f}

une solution de

{f''+qf=0}

.
Montrer que

{f}

est bornée.

➡️

L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

➡️

Équation matricielle M M^T M = I_n

(Oral Mines-Ponts 2018)
Résoudre

{M\,M^{T}M=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

➡️

Spectre d’un polynôme de matrice

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

{P\in\mathbb{C}[X]}

. Montrer que

{P(\text{Sp}(M))=\text{Sp}(P(M))}

. Le résultat demeure-t-il pour

{M\in\mathcal{M}_{n}}

(

{\mathbb{R}}

) et le spectre réel ?

➡️

A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in GL_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si

{A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})}

➡️

Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}

tend vers

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}

➡️

f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de

{f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}

.
Montrer que

{f}

se prolonge sur

{\mathbb{R}^{2}}

➡️

(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

diagonalisables telles que

{A^{2}=B^{2}}

{A^{3}=B^{3}}

.
Montrer que

{A=B}

. Et si on ne suppose plus

{A,B}

diagonalisables?

➡️

Matrices à puissances bornées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})}

telles que la suite

{n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}}

soit bornée.

➡️

Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Dans un

{\mathbb{C}}

-ev

{E}

de dimension finie, on étudie les propriétés de

{u,v}

dans

{\mathcal{L}(E)}

tels que

{uv-vu=au+bv}

avec

{a\ne 0}

➡️

Un endomorphisme matriciel

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de

{\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}

➡️

Un tirage géométrique avec remise

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{N}

une v.a.r telle que

{N+1\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Dans urne contenant une boule bleue et une boule verte, on effectue

{N}

tirages avec remise.
Trouver la loi du nombre

{X}

de boules vertes tirées.

➡️

Distance entre deux lois géométriques

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes de loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Loi et espérance de

{Z=|X-Y|}

➡️

Condition de nullité d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

de rayon

{R\ne0}

.
On suppose qu’il existe une suite

{(z_{p})}

{\mathbb{C}^*}

tendant vers

{0}

, telle que

{f(z_{p})=0 }

pour tout

{p}

.
Montrer que

{f}

est nulle.

➡️

Étude de série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer le domaine de

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}

.
Étudier la continuité et le caractère

{\mathcal{C}^{1}}

{f}

➡️

Calcul d’une intégrale généralisée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}

➡️

Une équation fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

➡️