(Oral Centrale) Soit {\mathcal{A}} une sous-algèbre commutative de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}), contenant In et sans nilpotent. Alors {\dim(\mathcal{A})\le n} et les éléments de {\mathcal{A}} sont diagonalisables.
(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre {n} toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation {A\to(A+A^{-1})/2} (généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {AB-BA=B\ (\star)}
Calculer {\mathrm{tr}(B)}. Montrer que {B} n’est pas inversible.
Montrer : {\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}.
En déduire que {B} est nilpotente (plusieurs méthodes)
(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} : la matrice {A+tB} est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des {t_k} distincts tels que {A+t_kB} soit nilpotente, les matrices {A,B} sont-elles nilpotentes?
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})} une matrice nilpotente.
Soit {p} son indice de nilpotence. Montrer que {p\leq 3}.
On suppose {p=3}. Montrer que {A} est semblable à {-A} si et seulement si {\det A=\text{tr}\,A=0}
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {\mathrm{tr}(A^{k})=0} pour tout {k\ge1}.
Montrer que {A} est nilpotente (deux méthodes).
(Oral Centrale 2018)
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}
(Oral Centrale 2018)
Soit {E} un ev de dimension {n\geq 1}. Soit {u\in\mathcal{L}(E)}.
On dit que {x\in E} est cyclique si {(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))} est une base de {E}.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}. Alors {M} est nilpotente {\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}.