Matrices nilpotentes

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Matrices nilpotentes ».

Sous-algèbre sans nilpotents

(Oral Centrale) Soit

{\mathcal{A}}

une sous-algèbre commutative de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

), contenant In et sans nilpotent. Alors

{\dim(\mathcal{A})\le n}

et les éléments de

{\mathcal{A}}

sont diagonalisables.

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Sous-espace de matrices qui commutent

(Oral Centrale) On détermine la dimension maximale d’un sous-espace de

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

formé de matrices qui commutent deux à deux.

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Sous-espaces de matrices nilpotentes

(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre

{n}

toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.

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Algorithme de Babylone matriciel

Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation

{A\to(A+A^{-1})/2}

(généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)

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Sous-espaces stables, commutant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}{1} & {j} & {j^{2}} \\ {j} & {j^{2}} & {1} \\ {j^{2}} & {1} & {j}\end{pmatrix}}

, où

{j=\text{e}^{2i\pi/3}}

.
La matrice

{A}

est-il diagonalisable ?
Déterminer les sous-espaces stables par

{A}

.
Déterminer la dimension de :

{\mathcal{C}_A=\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

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Égalité matricielle AB-BA=B

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{AB-BA=B\ (\star)}

Calculer

{\mathrm{tr}(B)}

. Montrer que

{B}

n’est pas inversible.
Montrer :

{\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}

.
En déduire que

{B}

est nilpotente (plusieurs méthodes)

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Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

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Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

une matrice nilpotente.
Soit

{p}

son indice de nilpotence. Montrer que

{p\leq 3}

.
On suppose

{p=3}

. Montrer que

{A}

est semblable à

{-A}

si et seulement si

{\det A=\text{tr}\,A=0}

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Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{\mathrm{tr}(A^{k})=0}

pour tout

{k\ge1}

.
Montrer que

{A}

est nilpotente (deux méthodes).

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Réduction d’endo. nilpotent

(Oral Centrale 2018)
Soit

{v\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{\dim(E)=3n}

.
On suppose

{v^{3}=0}

{v^{2}\neq 0}

{\mathrm{rg} (v)=2n}

.
Montrer que

{\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}

.
Former une base où

{v}

a pour matrice

{\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}

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Existence d’un vecteur cyclique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{E}

un ev de dimension

{n\geq 1}

. Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

.
On dit que

{x\in E}

est cyclique si

{(x,u(x),\ldots,u^{n-1}(x))}

est une base de

{E}

.
Dans cet exercice, on étudie l’existence d’un vecteur cyclique.

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