Réduction des endomorphismes

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Réduction des endomorphismes ».

Puissances de polynômes annulateurs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de

{A}

est lui même un polynôme annulateur de

{A}

➡️

Équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, à spectres disjoints. Montrer que

{\chi_{A}(B)}

est inversible.
Soit

{Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer

{\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}

➡️

Adhérence des matrices diagonalisables

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est l’ensemble des matrices trigonalisables.

➡️

Vect des matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{n\geq 2}

, et

{\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}

. Déterminer Vect

{(\mathcal{N})}

➡️

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

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Algèbre de matrices diagonalisables

(Oral Centrale Mp)
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.

➡️

Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale Mp)
Conditions équivalentes pour que des matrices par blocs soient semblables.

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Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
Encadrement de valeurs propres non nulles de matrices à coefficients entiers.

➡️

Urne de moins en moins bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant le coté monocolore).

➡️

Urne de plus en plus bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant l’équilibre des couleurs).

➡️

Réduction d’une matrice en ᒧ

(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ

➡️

Déterminant et polynômes

(Oral Centrale Mp)
Soit

n\in\mathbb{N}

, et

{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}

pour

0\le j\le n

.
On étudie la matrice des coefficients

a_{n,i,j}

et on calcule son déterminant.

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Une condition de nilpotence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. Alors

{M}

est nilpotente

{\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}

➡️

Éléments propres de M quand MM^T=M^TM

Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{M{M}^{\top}={M}^{\top}M}

.
Montrer que

{M,{M}^{\top}}

ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.

➡️

Une trigonalisation 4×4

Soit

{A=}

{\begin{pmatrix}1&-1&0&0\cr 0&0&1&-1\cr 0&0&-1&1\cr -1&1&0&0\end{pmatrix}}

. Calculer

A^3

. Peut-on dia(tri)gonaliser

A

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Une trigonalisation 5×5

Montrer que

{A=}

{\begin{pmatrix}1&0&-1&1&0\cr0&-2&0&0&0\cr1&0&1&0&1\cr1&0&0&1&1\cr0&0&1&-1&1 \end{pmatrix}}

est semblable à

{J=}

{\begin{pmatrix}-2&0&0&0&0\cr0&1&1&0&0\cr0&0&1&0&0\cr0&0&0&1&1\cr0&0&0&0&1\end{pmatrix}}

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Une trigonalisation effective

Trigonaliser

{A=\begin{pmatrix}-4&0&-2\cr0&1&0\cr5&1&3 \end{pmatrix}}

et calculer

{A^n}

, pour tout

{n\in\mathbb{Z}}

➡️

Diagonalisation simultanée

Soient

{f}

{g}

deux endomorphismes diagonalisables de

{E}

, avec

{\dim(E)=n\ge1}

.
On suppose que

{fg=gf}

. Montrer que

{f}

{g}

sont diagonalisables dans une même base

{(e)}

{E}

➡️

Produit de Kronecker

Pour

{A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{K})}

{M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

, soit

{A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}

.
On étudie les propriétés de l’opération

\otimes

➡️

Réduction de matrices à paramètres

Diagonaliser les matrices

{M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a&b&c\cr b&a+c&b\cr c&b&a\end{pmatrix}}

, pour

{(a,b,c)\in\mathbb{K}^3}

➡️