(Oral Centrale) On étudie {F(t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{f(x)}{1+tf(x)}\text{d}x}, où {f} est continue positive intégrable sur {\mathbb{R}^+}.
(Oral Centrale) Soit {q :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{-*}} continue strictement négative. On s’intéresse aux solutions sur {\mathbb{R}^{+}} de l’équation différentielle {\left( \mathcal{E}_{q}\right) :y''+q(x)y=0}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f :\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+*}} continue par morceaux.
On suppose que {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=\alpha\in [0,1[}.
Montrer que {f} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}.
Montrer que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
Monrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f} une fonction continue et intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soient {a,b\in \mathbb{R}} tels que {0\lt a\lt b}.
Existence et valeur de {J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}
(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de {\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}.
Équivalent de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t} en {+\infty}.
En déduire un équivalent de {\ln \Gamma(x)} en {+\infty }.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}. Montrer que {\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x} diverge.
En déduire que {n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x} et {\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)} divergent.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de {J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}
Soit {f} dans {\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}. On suppose que {f} et {f''} sont de carré intégrable sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {f'} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
(Oral X-Cachan)
Si {f \in{\mathcal C}^{0}(\mathbb{R}^{+}}, soit {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)(x)\!=\!\displaystyle\dfrac{1}{\sqrt\pi}\!\!\int_{0}^{x}\!\!\dfrac{f(t)\,\text{d}t}{\sqrt{x-t}}}.
La dérivée de {\mathcal{I}_{1\text{/}2}(f)}, notée {\mathcal{D}_{1\text{/}2}(f)} est appelée demi-dérivée de {f}. On étudie cette demi-dérivée pour certaines classes de fonctions f.