Espaces vectoriels normés

On trouvera ici les exercices corrigés du site Mathprepa pour le chapitre de deuxième année « Espaces vectoriels normés ».

QCM (espaces vectoriels normés)

Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Espaces vectoriels normés ».

Un problème d’extrema liés

(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction

{f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}}

polynomiale homogène en les coordonnées

{x_i}

, sur un certain polygone de

{\mathbb{R}^n}

.

Séries entières à coefficients 0 ou 1

Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.

Une preuve de Cayley-Hamilton

(Oral Centrale) On établit ici le théorème de Cayley-Hamilton par une méthode à base de calcul intégral et de série entière matricielle.

Matrices symétriques congruentes

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).

Un problème de minmax

(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction

{\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)}

admette localement un minimum (les

{f_i}

étant de classe

{\mathcal{C}^1}

sur

{\mathbb{R}^n}

Système à diagonale dominante

(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires

{AX=B}

, où la matrice

{A}

est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.

Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ

(Oral Centrale) On considère la forme quadratique

{q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}

, avec

{rt-s^2=3/4}

, et on montre qu’il existe

{(x,y)\in\mathbb{Z}^2}

tel que

{|q(x,y)|\le 1}

.

Décomposition polaire par minimisation

(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle

{A}

s’écrit

{A=RS}

, avec

{R}

orthogonale positive et

{S}

symétrique.

Autour des polynômes de Bernoulli

(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de

{\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})}

muni de la norme infinie.

Un prolongement lipschitzien

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\ne\emptyset}

une partie d’un espace vectoriel normé

{E}

.
Soit

{f:A\rightarrow \mathbb{R}}

,

{k}

-lipschitzienne

{(k>0)}

.
Pour tout

{x\in E}

, on note

{\Delta_x=\{f(a)+k\|x-a\|,\;a\in A\}}

Justifier la notation

{g(x)=\inf\Delta_x}

et montrer que

{g}

est un prolongement

{k}

-lipschitzien de

{f}

à

{E}

tout entier.

Une bijection lipschitzienne

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé.Pour

{x\in E}

, on pose

{f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}

.Montrer que

{f}

est une bijection de

{E}

sur la boule unité ouverte

{B}

, et que

{f}

est lipschitzienne.

Deux normes équivalentes

(Oral Mines-Ponts)
On note

{E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}

.
Soit

{\varphi \in E}

telle que

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}

.
Pour toute

{f\in E}

, on pose :

{\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}

Montrer que

{N}

et

{N_{\varphi}}

sont des normes équivalentes.

Exponentielle d’une matrice

Montrer que pour toute matrice A de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, il existe un polynôme

{P}

tel que

{\exp(A)=P(A)}

.
Existe-t-il un polynôme

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\exp (A)=P(A)}

Adhérence des matrices diagonalisables

Montrer que toute matrice de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

est limite d’une suite de matrices diagonalisables.

Norme sur fonctions lipschitziennes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur

{[0,1]}

.
Pour tout

{f\in E}

, soit

{K(f)}

la borne inférieure des

{k}

tels que

{f}

soit

{k}

-lipschitzienne.
Montrer que

{N(f)=|f(0)|+K(f)}

est une norme. La comparer avec

{\|\;\|_{\infty}}

.

Moyenne des itérées d’une isométrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, soit

{a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}

.
Montrer que

{\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}

.
Étudier la suite

{N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}

Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}

, où

{n\ge2}

et

{\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}

.
Montrer que la suite

{(A^{k})_{k\ge0}}

converge.

Point fixe d’une fonction contractante

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un fermé de

{E}

(evn de dimension finie).
Soit

{f:A\rightarrow A}

,

{k}

-lipschitzienne avec

{0\le k\lt 1}

.
Montrer que

{f}

possède un unique point fixe sur

{E}

.

Un ouvert union de boules fermées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un ouvert d’un evn

{E}

de dimension finie.
Montrer que

{\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)}

est un ouvert.