Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Espaces vectoriels normés ».
(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} polynomiale homogène en les coordonnées {x_i}, sur un certain polygone de {\mathbb{R}^n}.
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).
(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction {\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)} admette localement un minimum (les {f_i} étant de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^n}
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle {A} s’écrit {A=RS}, avec {R} orthogonale positive et {S} symétrique.
(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de {\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme infinie.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\ne\emptyset} une partie d’un espace vectoriel normé {E}.
Soit {f:A\rightarrow \mathbb{R}}, {k}-lipschitzienne {(k>0)}.
Pour tout {x\in E}, on note {\Delta_x=\{f(a)+k\|x-a\|,\;a\in A\}}Justifier la notation {g(x)=\inf\Delta_x} et montrer que {g} est un prolongement {k}-lipschitzien de {f} à {E} tout entier.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel normé.Pour {x\in E}, on pose {f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}.Montrer que {f} est une bijection de {E} sur la boule unité ouverte {B}, et que {f} est lipschitzienne.
(Oral Mines-Ponts)
On note {E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}.
Soit {\varphi \in E} telle que {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}.
Pour toute {f\in E}, on pose : {\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}Montrer que {N} et {N_{\varphi}} sont des normes équivalentes.
Montrer que pour toute matrice A de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, il existe un polynôme {P} tel que {\exp(A)=P(A)}.
Existe-t-il un polynôme {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\exp (A)=P(A)}
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur {[0,1]}.
Pour tout {f\in E}, soit {K(f)} la borne inférieure des {k} tels que {f} soit {k}-lipschitzienne.
Montrer que {N(f)=|f(0)|+K(f)} est une norme. La comparer avec {\|\;\|_{\infty}}.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, soit {a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}.
Montrer que {\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}.
Étudier la suite {N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A} un fermé de {E} (evn de dimension finie).
Soit {f:A\rightarrow A}, {k}-lipschitzienne avec {0\le k\lt 1}.
Montrer que {f} possède un unique point fixe sur {E}.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A} un ouvert d’un evn {E} de dimension finie.
Montrer que {\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)} est un ouvert.