Équations différentielles linéaires d’ordre 1

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr dans la catégorie « Équations différentielles linéaires d’ordre 1 ».

Équation différentielle et prolongement

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E)}

:

{2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}

.
Résoudre

{(E)}

sur

{]-\infty ,0[}

,

{]0,1[}

et

{]1,+\infty \lbrack}

.
Montrer que

{(E)}

a une unique solution sur

{]-\infty ,1[}

.
Montrer que cette solution est

{\mathcal{C}^{\infty}}

.

Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

Une équation fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

.

Une inéquation différentielle

(Oral X-Cachan )
Soit

{f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})}

telle que

{f(1)=1}

et :

{\forall x\geq 1}

,

{f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}

.
Montrer que

{f}

a une limite finie

{L}

en

{+\infty }

et que

{L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}

.

Série entière et équation différentielle

Rayon et somme

f

de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}

.
On notera que

f

vérifie

{(1-x^2)y'-xy=1}

.

Série entière, équation différentielle

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}

.

Équa. diff. et développement limité

(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle

{(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}

.
Montrer que

(E)

admet une unique solution

{f}

sur

{]-\infty,1[}

vérifiant

{f(0) = 0}

.
Donner un développement de

{f}

à l’ordre

{4}

en

{0}

.

Équa. diff. linéaire d’ordre 1

(Oral Ensam)
Résoudre l’équation différentielle

{(E):\ x(1 - x^{2})y'+(2x^{2} - 1)y = x}

.

Le gâteau

On voit ici une application des équations différentielles à un problème de la vie quotidienne. Il s’agit de servir un gâteau à nos invités à une heure précise, mais celui-ci doit être à la bonne température. Facile si on connaît la loi de Newton.