Une somme (bis) de série entière
(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.
Équations différentielles linéaires d’ordre 1
Série entière à coefficients factoriels
(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme {f}. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule {f} aux bornes de l’intervalle de convergence.
Série des inverses des nombres de Catalan
(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan {c_n}. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des {1/c_n} et des {n/c_n}.
Équation différentielle et prolongement
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Série entière et suite récurrente
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
Endomorphisme de polynômes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Une équation fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Une inéquation différentielle
(Oral X-Cachan )
Soit {f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} telle que {f(1)=1} et : {\forall x\geq 1}, {f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}.
Montrer que {f} a une limite finie {L} en {+\infty } et que {L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}.
Soit {f\in C^{1}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} telle que {f(1)=1} et : {\forall x\geq 1}, {f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}}.
Montrer que {f} a une limite finie {L} en {+\infty } et que {L\leq 1+\dfrac{\pi}{4}}.
Série entière et équation différentielle
Rayon et somme f de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}.
On notera que f vérifie {(1-x^2)y'-xy=1}.
On notera que f vérifie {(1-x^2)y'-xy=1}.
Série entière, équation différentielle
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Équa. diff. et développement limité
(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 1
Le gâteau
On voit ici une application des équations différentielles à un problème de la vie quotidienne. Il s’agit de servir un gâteau à nos invités à une heure précise, mais celui-ci doit être à la bonne température. Facile si on connaît la loi de Newton.