On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Compléments d’algèbre linéaire », dans la catégorie « Calculs de déterminants ».
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on détermine l’ensemble image de l’application qui à une matrice {A} de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} associe sa comatrice.
(Oral Centrale) Parmi les matrices carrées {A} de taille n telles que {|a_{i,j}|\le1}, on s’intéresse aux matrices dites extrémales, c’est-à-dire qui maximisent {|\det(A)|}. On voit comment former de telles matrices pour certaines valeurs de {n}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(f_{1},\ldots,f_{n})} une famille de fonctions de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}}. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe {n} réels {x_{1},\ldots,x_{n}} tels que la matrice des {f_{i}(x_{j})} soit inversible dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})}, {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
Établir que {\det(A\otimes M)=(\det A)^n(\det M)^2}
(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
(Oral Centrale)
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) : i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre; ii){\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective; iii){\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
](Oral Mines-Ponts)
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}, avec {\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}.
Calculer {\det(xA+yB)} pour tous réels {x,y}.
(Oral Mines-Ponts)
On définit {M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} par {m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}, {m_{i,i+1}=a}, {m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}} (et {0} sinon).
Calculer le déterminant \Delta_n de {M_{n}}.
(Oral X-Cachan Psi)
Pour toute matrice {P} de {{\mathcal M}_{p}(\mathbb{K})}, on montre qu’il existe une matrice diagonale {J}, avec des coefficients {\pm1} sur sa diagonale, telle que {\det (P+J)\ne 0}.
(Oral Mines-Ponts)
Soient {n} un entier positif pair, et soit A antisymétrique dans {\mathcal M}_n(\mathbb{R}). Soit J la matrice de {\mathcal M}_n(\mathbb{R}) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Étudier la fonction {t\in\mathbb{R}\mapsto\det( A+tJ)}.