Voici des planches d’oral issues de concours récents, toutes déjà présentes ici ou là sur le site, mais que j’ai regroupées car je les recommande particulièrement. Chaque entrée de ce menu ouvre sur quelques propositions d’exercices qui sont de véritables classiques.
La première entrée du menu contient un conseil : à l’oral des concours, votre expression doit éviter quelques tics de langage, et notamment l’usage abusif de l’expression « du coup » (j’ai été 10 ans membre du jury de Centrale-Supélec, alors vous pouvez me faire confiance).
À l'oral, haro sur l'expression 'du coup'
Algèbre linéaire : exercices recommandés
- (**) L’essouflement des noyaux
- (**) Conditions suffisantes d’inversibilité
- (**) Trace et formes linéaires
- (***) Une base de {K_n[X]}
- (**) Projecteurs de somme Id
- (**) Déterminant et produit de Kronecker
- (**) Déterminant par blocs
- (*) Petit lemme des noyaux
- (*) Endomorphismes tels que {f^3=\text{Id}}
- (*) Carré d’une matrice de rang {r\le 1}
- (**) Une équation matricielle
- (*) Déterminant positif, par blocs
- (***) Commutant d’un nilpotent
- (**) Un déterminant tridiagonal
- (***) Matrices réelles semblables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}Mn(ℂ)
- (***) Caractérisation de {\text{tr}(A)=0}
- (***) Trace de {M \mapsto AMB}
- (*) Rang et inégalités
- (***) Matrices de trace nulle
- (**) Rang d’une matrice par blocs
- (**) Hyperplans et matrices inversibles
Réduction : exercices recommandés
- (*) Polynôme annulateur et trace
- (***) (B polynôme en A) {\Rightarrow} (A polynôme en B) ?
- (**) Conditions de diagonalisabilité (ou pas)
- (****) Un critère de diagonalisabilité
- (**) Réduction d’un endomorphisme intégral
- (**) Égalité matricielle AB-BA=B
- (**) Cayley-Hamilton et matrice compagnon
- (*) Six exercices sur la réduction
- (**) Matrices semblables, par blocs
- (***) P(A) diagonalisable, P'(A) inversible
- (**) Diagonalisabilité par blocs
- (*) Matrice ortho-trigonalisable
- (**) Produit de Kronecker
- (***) Nilpotence et trace des puissances
- (**) Réduction d’endo. nilpotent
- (**) Endomorphisme de polynômes
- (***) A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?
- (***) Crochet de Lie
- (**) Diagonalisation simultanée
- (***) Réduction d’une matrice en ᒧ
- (***) Vect des matrices nilpotentes
- (*) Si {A^3= A+I_n}, alors {\det(A)\gt0}
- (***) Équation matricielle AX-XB=Y
Préhilbertiens : exercices recommandés
- (*) Projection orthogonale sur un plan
- (*) (AX|X) = 0 pour tout X
- (**) Projecteur et transposition
- (***) Polynômes orthogonaux
- (**) Famille obtusangle
- (***) Distance à un sous-espace
- (**) Forme linéaire et produit scalaire
- (*) Minimum d’une intégrale
- (*) Une base orthonormale
- (**) Conservation de l’orthogonalité
- (**) Procédé de Gram-Schmidt
- (**) Une base orthonormale de ℝ[X]
- (***) Chebyshev et produit scalaire
- (****) Une approximation quadratique
- (**) Un orthogonal non supplémentaire
- (*) Une condition d’orthogonalité
Euclidiens : exercices recommandés
- (**) Conditions pour une isométrie
- (**) SAS définie positive ?
- (**) Matrices telles que {A^T = A^2}
- (**) Isométries de l’espace
- (***) Matrice ortho-trigonalisable
- (***) {\text{Ker}(u+v)} et {\text{Im}(u+v)} pour {u,v\in\mathcal{S}^+(E)}
- (***) det(u+v) ≥ det(u) + det(v)
- (*) Une condition d’antisymétrie
- (*) Orthogonale ⇆ antisymétrique
- (*) Équation matricielle {M M^{T} M = I_n}
- (**) Tr(uv), avec u,v symétriques positifs
- (*) Équation matricielle AM+MA=B
- (**) Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
- (***) Matrices de Householder
- (**) Matrices symétriques, produits scalaires
- (**) Matrices symétriques réelles
- (*) Rotations vectorielles du plan
- (*) Exercices sur le produit vectoriel
- (**) Un endomorphisme symétrique
- (*) Minimum de (f(x)|x)
- (**) Somme de projecteurs orthogonaux
- (*) Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
- (**) Matrice orthogonale et inégalités
- (**) Deux isométries de l’espace
Espaces normés : exercices recommandés
- (*) Une bijection lipschitzienne
- (*) Deux normes équivalentes
- (***) Adhérence des matrices diagonalisables
- (**) Moyenne des itérées d’une isométrie
- (**) Puissances de matrices stochastiques
- (***) Point fixe d’une fonction contractante
- (**) Un ouvert union de boules fermées
- (*) Intérieur et adhérence dans un evn
- (*) Distances dans un evn
- (**) Normes matricielles
- (*) Boules ouvertes, boules fermées
- (*) Ouverts et fermés dans un evn
- (***) Question de point fixe
- (**) Une conséquence de ||u(x)|| ≤ ||x||
- (***) Exp(A), avec A antisymétrique
Séries numériques : exercices recommandés
- (***) La somme de la série des {(-1)^k\ln(k)/k}
- (*) La série {\displaystyle\sum\sin\pi\sqrt{n^2+1}}
- (**) Nature de la série {\displaystyle\sum(-1)^n/(n^\alpha+(-1)^n)}
- (**) Une série réellement alternée
- (**) Une série faussement alternée
- (****) Équivalents et sommes partielles
- (**) Séries numériques alternées
- (*) Six exercices sur les sommes de séries
- (*) Une jolie égalité intégrale/série
- (*) D’Alembert or not D’Alembert
- (*) Série ∑(√n+a√(n+1)+b√(n+2))
- (*) Sommes harmoniques et séries
- (**) Suite implicite et série
- (**) Deux sommes de séries numériques
- (***) Suite implicite et série
- (**) Nature d’une série numérique
- (***) Somme d’une série alternée
- (**) Convergence d’une série numérique
- (**) Somme d’une série numérique alternée
- (**) Une série numérique
Suites de fonctions : exercices recommandés
Séries de fonctions : exercices recommandés
- (****) Convergence d’une série de fonctions
- (****) Intégrale et constante d’Euler
- (***) Étude d’une série de fonctions
- (***) Étude d’une série de fonctions
- (***) Étude d’une série de fonctions
- (***) Régularité d’une série de fonctions
- (**) Séries de fonctions trigonométriques
- (**) Série de fonctions, convergence, somme
- (**) La série de fonctions ∑(-1)n/√(n+x)
- (**) Une série de fonctions alternée
- (***) Variations d’une série de fonctions
- (**) Une série de fonctions
- (**) Série alternée de fonctions
- (**) Dérivabilité d’une série de fonctions
- (*) CV uniforme d’une série de fonctions
- (**) Fonctions Zeta et Zeta alternée
- (**) Étude d’une série de fonctions
- (**) Une série de fonctions
- (**) Étude d’une série de fonctions
Séries entières : exercices recommandés
- (***) Série de fonctions et série entière
- (****) Duo de séries entières
- (****) Série entière et équation différentielle
- (**) La somme des x^n/(3n+1)
- (***) Développement en série entière
- (***) Involutions et séries entières
- (*) DSE de arctan(1+x)
- (*) Une somme de série entière
- (***) Nombres de Bell, formule de Dobinksi
- (*) Rayon et somme d’une série entière
- (**) Un développement en série entière
- (**) DSE de arcsin2(x)
- (**) Un développement en série entière
- (**) Série entière, équation différentielle
- (*) Un développement en série entière
Intégration : exercices recommandés
- (**) Intégrale trigonométrique à paramètre
- (**) Intégrale à paramètre et série
- (*) Intégrales généralisées et séries
- (***) Intégrabilité d’une intégrale
- (***) Équivalents d’intégrale à paramètre
- (*) Une autre intégrale à paramètre
- (***) Condition suffisante d’intégrabilité
- (***) Une intégrale d’intégrale
- (***) Série alternée d’intégrales
- (**) Fonction Ck à dérivées nulles en 0
- (***) Une transformation de Laplace
- (***) Intégrale d’une fonction discrète
- (*) Continuité d’intégrales à paramètre
- (**) Nature d’intégrales généralisées
- (**) Interversion intégrale/série
- (*) Deux suites d’intégrales
- (***) Dérivation d’intégrale à paramètre
- (*) Calcul d’une intégrale à paramètre
- (****) Équivalent d’une suite d’intégrales
- (***) Intégrale et constante d’Euler
- (**) L’intégrale de Dirichlet
- (***) Intégrale et constante d’Euler
- (*) Un développement en série entière
Probabilités : exercices recommandés
- (**) Probabilités et diagonalisation
- (*) Rétablir l’honnêteté d’une pièce
- (***) Inégalités et espérance
- (*) Fonctions de variables de même loi
- (****) Série des inverses des entiers premiers
- (**) Un nombre géométrique de lancers
- (**) Espérance d’un déterminant
- (***) Pics dans des tirages sans remise
- (***) Lemmes de Borel-Cantelli
- (*) Formule de Bayes
- (*) Indépendance d’événements
- (*) Événements presque sûrs ou négligeables
- (***) Deux suites de tirages monocolores
- (**) Promenade aléatoire sur ℤ
- (**) Différence de lois binomiales
- (*) Un tirage géométrique avec remise
- (***) Série de lois de Poisson indépendantes
- (*) Majoration d’une probabilité
- (***) Urne de moins en moins bicolore
- (***) Urne de plus en plus bicolore
- (**) Vidages d’urnes bicolores
- (*) Loi définie par sa fonction génératrice
- (**) Égalités dans un jeu à deux
Calcul différentiel : exercices recommandés
Équations diff. : exercices recommandés
- (*) Un système différentiel
- (*) Équation différentielle et prolongement
- (**) Suite de solutions d’une équa-diff
- (***) Autour du lemme de Gronwall
- (*) Une équation fonctionnelle
- (***) Parité des solutions d’une équa-diff
- (**) Une inéquation différentielle
- (**) Série entière et équation différentielle
- (**) DSE de {\arcsin^2(x)}
- (**) Équation différentielle {y^{(3)}-y =\text{e}^{pt}t}
- (**) Équation différentielle de Legendre
- (***) Équation différentielle {y''+f(x)y = 0}
- (**) Équa. différentielle et série entière
- (*) Équa. diff. linéaire d’ordre 1
- (*) Équa. diff. linéaire d’ordre 2
- (**) Mouvement circulaire
- (**) Équation différentielle d’ordre 3
- (***) Un système différentiel