Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Une condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Soient

{\lambda,\mu}

dans

{\mathbb{C}}

, distincts et non nuls.
On suppose que

{I_{n}= A + B}

{M = \lambda A + \mu B}

, et

{M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}

.
Montrer que

{A,B}

sont des projecteurs et que

M

est diagonalisable.

➡️

Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))}

définie par

{\varphi(M)=AMB}

.
Montrer que si

A,B

sont diagonalisables,

\varphi

est diagonalisable (deux méthodes)

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

{m_{i,j} = b}

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de

{S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}

➡️

Somme d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(3n)!}}

➡️

Rayon de convergence de ∑ tr(A^k)z^k

(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Donner le rayon de

{\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}

➡️

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Matrice unipotente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\omega}

tel que

\omega^p=1

{\omega^{-1}\notin\text{Sp}(M)}

.
Montrer que :

{M^{p}=I_{n}\Leftrightarrow\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\omega^{k}M^{k}=0}

➡️

Matrices par blocs et semblables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}

{N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}

, nilpotentes.
Soit

{U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}

{U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}

.
On pose

{A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}}

{B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}}

{\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}

➡️

Série de fonctions, série entière

(Oral Ccp et Centrale)
Soit

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}

, avec

|a|\lt1

.
On montre que

{f}

est

{C^{\infty}}

, puis qu’elle est développable en série entière sur

\mathbb{R}

➡️

Diagonalisation et suite de puissances

(Oral Ccp)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

avec des

{1}

sur les premières et dernières lignes/colonnes, des

{0}

ailleurs.
Préciser

{\text{Sp}(A)}

. Montrer :

{\forall\, k\ge3,\;\exists\,(\lambda_{k},\mu_{k}),\;A^{k}=\lambda_{k}A+\mu_{k}A^{2}}

➡️

Réduction d’une matrice circulante

(Oral Ccp)
Soit

{a=(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{C}^{n}}

.
Diagonaliser

{M(a)\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

où

{m_{i,j}=a_{(i-j)\!\!\mod n}}

➡️

Trace et matrices orthogonales

(Oral Ccp)
Si

{\Omega\in O(n)}

{S\in S_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}

, alors

{\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

➡️

Projecteur p vérifiant u = pu – up ?

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

un endomorphisme d’un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

{E}

.
À quelle condition existe-t-il un projecteur

{p}

{E}

vérifiant

{u= pu-up\,}

➡️

Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

➡️