Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Matrices nilpotentes semblables à …

(Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})}

, une matrice nilpotente.
Montrer que

{A}

est semblable à

{\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

, ou

{\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

➡️

Avec ou sans polynôme caractéristique?

(Oral Centrale 2018)
Diagonalisabilité dans

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

{A=\begin{pmatrix}\lambda & -a & 0 \\ -\alpha & \mu & -b \\ 0 & -\beta & \nu\end{pmatrix}}

où

{\begin{cases}a\alpha >0\\b\beta >0\end{cases}}

➡️

Une série réellement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}}

où

{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}

➡️

Une série faussement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}\cos (\ln (n))}{n}}

➡️

Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes

{(X_{n})_{n\geq 1}}

.
On suppose que

{X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)}

et que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}}

converge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

➡️

Parité des solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

.
On suppose

{a,b}

continues sur

{\mathbb{R}}

. À quelle condition sur

{a,b}

existe-t-il une base de

{\mathcal{S}(E)}

formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}

➡️

Orthogonale ⇆ antisymétrique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Montrer que

{M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)}

est orthogonale positive.
Montrer que

{A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}

➡️

Puissances de polynômes annulateurs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de

{A}

est lui même un polynôme annulateur de

{A}

➡️

Indépendance de X⁺ et X^–

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une variable telle que

{X(\Omega )=\mathbb{Z}}

.
On pose

{X^{+}=\max (X,0)}

{X^{-}=\min (X,0)}

{X^+,X^-}

sont-elles indépendantes ?

➡️

Loi d’une somme de v.a.r

(Oral Mines-Ponts 2018)
On demande la loi de la somme de

{n}

v.a.r. indépendantes de même loi.

➡️

Majoration d’une probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(A_{k})_{1\leq k\leq n}}

des événements mutuellement indépendants. Soit

{B}

l’événement :
« aucun des événements

{A_k}

n’est réalisé ».
Montrer que

{\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}

➡️

Équivalent d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Déterminer le rayon de

{f}

, et

{\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}f(x)}

.
En déduire un équivalent de

{f}

{+\infty}

➡️

DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

➡️

Un ouvert union de boules fermées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un ouvert d’un evn

{E}

de dimension finie.
Montrer que

{\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)}

est un ouvert.

➡️

Tr(uv), avec u,v symétriques positifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

euclidien. On suppose que

{u,v}

sont à spectre positif. Montrer que

{\text{tr}(uv)\geq 0}

➡️

Équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, à spectres disjoints. Montrer que

{\chi_{A}(B)}

est inversible.
Soit

{Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer

{\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}

➡️

Adhérence des matrices diagonalisables

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est l’ensemble des matrices trigonalisables.

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Vect des matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{n\geq 2}

, et

{\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}

. Déterminer Vect

{(\mathcal{N})}

➡️