Concours Mines-Ponts
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Point fixe d’une fonction contractante

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un fermé de

{E}

(evn de dimension finie).
Soit

{f:A\rightarrow A}

{k}

-lipschitzienne avec

{0\le k\lt 1}

.
Montrer que

{f}

possède un unique point fixe sur

{E}

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Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

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Une diagonalisation très particulière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Diagonaliser la matrice

{A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{pmatrix}}

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Racine n-ième matricielle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}\neq 0}

.
Montrer que :

{\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}

➡️

Si A³ = A+I_n, alors det(A)>0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=A+I_{n}}

. Montrer que

{\det(A)>0}

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Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

non constant et

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Existe-t-il toujours

{M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{P(M)\!=\!0}

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Moyenne des itérés de u quand u^m = Id

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{u^{m}=\text{Id}}

{p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}

.
Montrer que

{p^2=p}

{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}

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Polynômes dérivés successifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

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Déterminant et trace de la transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de

{u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))}

défini par

{u(M)=M^{T}}

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Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

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Matrices nilpotentes semblables à …

(Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})}

, une matrice nilpotente.
Montrer que

{A}

est semblable à

{\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

, ou

{\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

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Suites de polynômes d’Appell

(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par :

{B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}

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Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer l’inégalité

{PP''≤(P')^2}

➡️

{P}

est un polynôme réel scindé.

Une série réellement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}}

où

{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}

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Une série faussement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}\cos (\ln (n))}{n}}

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Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note

{\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}

Soit ${P\in\mathbb{C}[X]}$ . Montrer que ${P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}}$ avec ${|a|=1}$

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Une simple curiosité

(Oral Mines-Ponts 2018)
On observe les égalités:

{9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}

Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.

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Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes

{(X_{n})_{n\geq 1}}

.
On suppose que

{X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)}

et que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}}

converge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

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Parité des solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

.
On suppose

{a,b}

continues sur

{\mathbb{R}}

. À quelle condition sur

{a,b}

existe-t-il une base de

{\mathcal{S}(E)}

formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?

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Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}

➡️