Concours Mines-Ponts
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours commun Mines-Ponts (math Spé Mp, Pc, Psi)

Intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}

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Limite d’une intégrale à paramètre

(Ooral Mines-Ponts)
Pour

{x>0}

, on pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de

{f}

{0}

➡️

Nature de ∑sin(2πen!)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}

. Montrer

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}

➡️

Équation M²-M+M^T=I_n

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre

{M^{2}-M+{M}^{\top}=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

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Base dont l’image est orthogonale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est euclidien. Prouver l’existence d’une base

{(e_{1},\ldots ,e_{n})}

{E}

telle que la famille

{(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))}

soit orthogonale.

➡️

Trace rationnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension

{n}

{f\in \mathcal{L}(E)}

tel que :

{f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0}

{\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}

.
Montrer que

{n}

est un multiple de

{3}

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Égalité matricielle et trace

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

{\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}

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Une base de C_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{(z_{j})_{0\leq j\leq n}}

des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille

{((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}}

est une base de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

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Orthocentre à l’origine

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

z\in\mathbb{C}

tels que l’orthocentre de

A(z)

B(z^2)

C(z^3)

soit en

0

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Loi définie par sa fonction génératrice

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la v.a.r.

X

définie par

{G_{X}(t)=\dfrac{1}{(2-t)^{\alpha}}}

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Un problème de minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

à valeurs propres strictement positives.
Soit

{B\in \mathbb{R}^{n}}

, et

{f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}}

définie par

{f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}

.
Montrer que

{f}

possède un minimum et le déterminer.

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Décomposition en suites monotones

(oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}

. Montrer qu’il existe des suites

{v}

{w}

respectivement croissante et décroissante telles que

{u=v+w}

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Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}

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Un endomorphisme symétrique

(Oral Tpe)
Soit

u

un vecteur unitaire de

{E}

euclidien, et soit

{a \in\mathbb{R}^{*}}

.
On étudie l’endomorphisme

{f_{a}}

E

défini par

{f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}

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Points fixes uniques

(oral Mines-Ponts)
Soient

{f}

{g}

deux fonctions continues sur

{\mathbb{R}}

, avec

{f\circ g}

décroissante.
Montrer que

{f\circ g}

{g\circ f}

admettent un unique point fixe.

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La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

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Deux encadrements

(oral Mines-Ponts)
Montrer que

{\forall\, x}

{y\in \mathbb{R}^{+*}}

{\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}

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A nilpotente réelle commutant avec A^T

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

nilpotente et telle que

{A^{\top}A=A\,A^{\top}}

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Une condition d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
On suppose

\dim(E)=n

. Soit

{f\in \text{GL}(E)}

, et

{g\in \mathcal{L}(E)}

avec

{\text{rg}(g)=1}

.
Montrer que

{f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}

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Racines d’un polynôme

(oral Mines-Ponts)
Trouver les racines complexes de

{P(X)=1+2X+\ldots +2X^{n-1}+X^{n}}

➡️