Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Convergence et caractère {{\mathcal C}^1} de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}.
Convergence et caractère {{\mathcal C}^1} de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{1+(nt)^2}}.
Convergence de séries de fonctions
Suite puis série de fonctions
Étudier la suite puis la série des {h_{n}(x)=x^{2n+1}\ln(x)}.
Série de fonctions, étude aux bornes
(Oral Ccp)
Pour {|a|\lt1} et x\gt0, étudier {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}, notamment en 0^+ et +\infty.
Pour {|a|\lt1} et x\gt0, étudier {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a^{n}}{n+x}}, notamment en 0^+ et +\infty.
Une série de fonctions
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}.
On étudie la série de fonction {S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}.
Série alternée de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Étudier {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}
Une série de fonctions
(Oral Ccp)
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Définition et continuité de {x\mapsto S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^{2}}{\text{e}^{-2nx}+\text{e}^{3nx}}}.
Une série de fonctions alternée
(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}.
CV uniforme d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Convergence et continuité de {f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Mêmes questions avec {g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Dérivabilité et variations de {S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}.
Série de fonctions, série entière
(Oral Ccp et Centrale)
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Domaine, continuité, étude aux bornes de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}.
Domaine, continuité, étude aux bornes de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}.
Dérivabilité d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Étudier le domaine et la dérivabilité de {S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}.
Une série de fonctions
(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Domaine de {S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}, variations, et limite en {+\infty}.
Étude d’une série de fonctions
(Oral Ccp)
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Pour n\in\mathbb{N} et x\ge0, on pose {f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}.
Continuité de {S=\displaystyle\sum f_n}, limites en 1 et en +\infty.
Une série de fonctions, alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.
Convergence de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}.
Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}f}.
Dérivabilité dun produit infini
(Oral Centrale)
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Montrer que {G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}} est de classe {{\mathcal C}^\infty} sur {\mathbb{R}^+}.
Séries de primitives
(Oral Ensam et Centrale)
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Soit {f_0\in{\mathcal C}^0([a,b],\mathbb{R})} et : {\forall n\in\mathbb{N},\;\forall x\in[a,b],\;f_{n+1}(x)=\displaystyle\int_a^xf_n(t)\text{d}t}
Montrer que {\displaystyle\sum f_n} converge, et déterminer sa somme
Équivalent d’une somme de série
Somme d’une série de fonctions
(Oral Centrale)
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Étude de la série de fonctions {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}.
Une série de fonctions
(Oral Centrale)
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}
Soient {p\in\mathbb{N}} et {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^p e^{-nx}}.
Domaine et dérivabilité de {f}. Équivalent en {0^+}