Suites et séries de fonctions

Exercices corrigés de Mathprepa pour le chapitre « Suites et séries de fonctions », posés aux concours (Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Inp, etc.)

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Caractère

\mathcal{C}^1

\mathcal{C}^2

S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+nx^2)}{n^2}

➡️

Une série de fonctions alternée

(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}

➡️

CV uniforme d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

.
Mêmes questions avec

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

➡️

Fonctions Zeta et Zeta alternée

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}}

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}

.
Étudier les domaines de

{f}

{g}

, les limites de

{f}

aux bornes, la continuité et la dérivabilité de

{g}

.
Donner une relation entre

{f}

{g}

, puis un équivalent de

{f(x)}

quand

{x\to1}

➡️

Une suite récurrente de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Sur

{\mathbb{R}^{+}}

, on pose

{f_{0}=0}

{f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}

.
Étudier la convergence de la suite

(f_n)_{n\ge0}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Dérivabilité et variations de

{S:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{e^{-nx}}{1+n^2}}

➡️

Série de fonctions, série entière

(Oral Ccp et Centrale)
Soit

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}

, avec

|a|\lt1

.
On montre que

{f}

est

{C^{\infty}}

, puis qu’elle est développable en série entière sur

\mathbb{R}

➡️

Équation fonctionnelle et série

(Oral Centrale)
Trouver les

{f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

➡️

Suite convergente de polynômes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(P_{n})_{n\ge 0}}

une suite de

{\mathbb{R}_{m}[X]}

, avec

{m \ge 2}

, simplement convergente vers

{f}

. Montrer que

{f}

est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Domaine, continuité, étude aux bornes de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\text{e}^{-x\sqrt{n}}}

➡️

Une somme de série de fonctions

(Oral Centrale)
Domaine et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n\dfrac{\cos^3(3^nx)}{3^n}}

➡️

Convergence uniforme et extrémas

(Oral Mines-Ponts)
On suppose que la suite

(f_n)

de fonctions continues converge uniformément sur

[a,b]

.
Étudier les suites

{\max\limits_{[a,b]}f_n}

{\min\limits_{[a,b]}f_n}

➡️

Une suite de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence uniforme sur

{\mathbb{R}^+}

de la suite des

{f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}

➡️

Dérivabilité d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Étudier le domaine et la dérivabilité de

{S\,\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\ln(1+n^{2}x^{2})}{n^{2}\ln(1+n)}}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de

{S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}

, variations, et limite en

{+\infty}

➡️

Série de fonctions, télescopique

(Oral Centrale)
Domaine et expression de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Ccp)
Pour

n\in\mathbb{N}

x\ge0

, on pose

{f_{n}(x) =\dfrac{x^{n}}{1+x^{2n}}}

.
Continuité de

{S=\displaystyle\sum f_n}

, limites en

1

et en

+\infty

➡️

Une série de fonctions, alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}

.
Calculer

{\displaystyle\lim_{+\infty}f}

➡️

Dérivabilité dun produit infini

(Oral Centrale)
Montrer que

{G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}}

est de classe

{{\mathcal C}^\infty}

sur

{\mathbb{R}^+}

➡️