(Oral Mines-Ponts)
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, on pose {\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}
Montrer que {\sigma} est bijective.
On pose {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}} et {v_{n}=u_{\sigma(n)}}.
Convergence et sommes de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}.
(Oral XEns)
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}
Soit {a\in]0, 1[}. Montrer que pour {n,p\in\mathbb{N}^*} : {\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}
En déduire que : {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}Simplifier {R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}.
Conclure.
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
(Oral Ensam)
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}.
Justifier l’existence de {u_n}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} converge et calculer sa somme.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t} et {a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}.
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} converge, et que {\displaystyle\lim_{+\infty}F} existe.
Déterminer le rayon de convergence {R} de {\displaystyle\sum a_n x^n}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
(Oral CCInp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}
Nature et somme de la série de terme général {u_n} ?
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|} ?
(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe une constante {C\neq 0} telle que : {\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}
(Oral Mines-Ponts)
Nature de la série de terme général {u_{n}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos \Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha }}\Big)-\dfrac{\pi }{6}}
(Oral Ccp)
On pose {u_0\in\mathbb{R}} et : {\forall\, n\ge1,\;u_{n}=\dfrac{\text{e}^{-u_{n-1}}}{n}}.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n u_n}.
(Oral Centrale 2018)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}} où {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}.