Séries de signe quelconque

Exercices corrigés

La formule de Simon Plouffe

(Oral XEns)
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}

  1. Soit {a\in]0, 1[}. Montrer que pour {n,p\in\mathbb{N}^*} : {\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}
  2. En déduire que :
    {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}Simplifier {R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}.
    Conclure.