Séries (plus ou moins) alternées
Six exercices sur le thème des séries numériques (plus ou moins) alternées.
Séries de signe quelconque
Nature de séries avec paramètres
Six exercices où il est question de déterminer la nature d’une série dont le terme général dépend de un ou deux paramètres.
Permutation des termes d’une série
(Oral Mines-Ponts)
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, on pose {\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}
Montrer que {\sigma} est bijective.
On pose {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}} et {v_{n}=u_{\sigma(n)}}.
Convergence et sommes de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}.
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, on pose {\begin{cases}\sigma(3n)=4 n\\\sigma(3n-1)=2n-1\\\sigma(3 n-2)=4n-2\end{cases}}
Montrer que {\sigma} est bijective.
On pose {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}} et {v_{n}=u_{\sigma(n)}}.
Convergence et sommes de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1} v_n}.
La formule de Simon Plouffe
(Oral XEns)
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}
On va prouver que {\pi=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}} où :{u_{k}\!=\!\dfrac{1}{16^{k}}\Bigl(\dfrac{4}{8k+1}\!-\!\dfrac{2}{8k+4}\!-\!\dfrac{1}{8k+5}\!-\!\dfrac{1}{8k+6}\Bigr)}
- Soit {a\in]0, 1[}. Montrer que pour {n,p\in\mathbb{N}^*} : {\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{x^{n-1}}{1-x^{p}}\,\text{d}x=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^{kp+n}}{kp+n}}
-
En déduire que :
{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}u_{k}=16\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^5+t^4+2t^3-4}{t^8-16}\,\text{d}t}Simplifier {R(X)=\dfrac{X^5+X^4+2X^3-4}{X^{8}-16}}.
Conclure.
Deux séries de même nature
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Série des restes d’une série
(Oral Ensam)
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}.
Justifier l’existence de {u_n}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} converge et calculer sa somme.
On pose, pour {n\in\mathbb{N}^*} : {u_n=\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{(-1)^k}{k}}.
Justifier l’existence de {u_n}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_n} converge et calculer sa somme.
La série des j^n/n
Série d’intégrales
(Oral CCInp)
On pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}.
Montrer : {\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}} converge et {\displaystyle\sum a_{n}} diverge.
Calculer la somme {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}.
On pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}.
Montrer : {\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}} converge et {\displaystyle\sum a_{n}} diverge.
Calculer la somme {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}.
Une série et un rayon de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit {F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t} et {a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}.
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} converge, et que {\displaystyle\lim_{+\infty}F} existe.
Déterminer le rayon de convergence {R} de {\displaystyle\sum a_n x^n}.
Soit {F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t} et {a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}.
Montrer que {\displaystyle\sum a_n} converge, et que {\displaystyle\lim_{+\infty}F} existe.
Déterminer le rayon de convergence {R} de {\displaystyle\sum a_n x^n}.
Série des f(n) avec hypothèse sur f’
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
Soit {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}, intégrable sur {[1,+\infty]}.
Comparer {\displaystyle\sum f(n)} et {n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t} converge.
Application : nature de {\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}} quand {\alpha >\dfrac{1}{2}}.
Une série alternée d’intégrales
(Oral CCInp)
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}
Nature et somme de la série de terme général {u_n} ?
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|} ?
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {u_{n}=(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}t\,\text{d}t}
Nature et somme de la série de terme général {u_n} ?
Nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}|u_n|} ?
Équivalent d’un produit partiel
(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe une constante {C\neq 0} telle que : {\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}
Montrer qu’il existe une constante {C\neq 0} telle que : {\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}
Une série en arccos
(Oral Mines-Ponts)
Nature de la série de terme général {u_{n}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos \Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha }}\Big)-\dfrac{\pi }{6}}
Nature de la série de terme général {u_{n}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos \Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha }}\Big)-\dfrac{\pi }{6}}
Série définie implicitement
(Oral Ccp)
On pose {u_0\in\mathbb{R}} et : {\forall\, n\ge1,\;u_{n}=\dfrac{\text{e}^{-u_{n-1}}}{n}}.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n u_n}.
On pose {u_0\in\mathbb{R}} et : {\forall\, n\ge1,\;u_{n}=\dfrac{\text{e}^{-u_{n-1}}}{n}}.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0} u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n u_n}.
Étude de la série des 1/n^z
(Oral Centrale 2018)
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Déterminer une CNS sur {z\in\mathbb{C}} pour que {\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^{z}}}converge.
Somme d’une série alternée
(Oral Centrale 2018)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)
Une petite série numérique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}.
Une série réellement alternée
(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}} où {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}.
Nature de {\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}} où {u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}.
Une série faussement alternée
Produits de Cauchy
Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».