Séries numériques alternées
Six exercices sur le thème « séries alternées ».
Séries de signe quelconque
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
Somme d’une série alternée
(Oral Centrale)
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Convergence et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Convergence d’une série alternée
Diagonalisation et série numérique
(Oral Centrale)
Nature de {\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}, où a est la valeur propre réelle de {A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}.
Nature de {\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}, où a est la valeur propre réelle de {A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}.
Somme d’une série numérique alternée
(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Convergence et somme de la série {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}
Une série numérique
Une série de produits
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}