Développements en série entière

(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.

➡️

Autour des polynômes de Bernoulli

(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de

{\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})}

muni de la norme infinie.

➡️

Opérateur Δ sur les polynômes

(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur

{\Delta}

sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme

{\sum P(n)x^n}

, où

{P}

est un polynôme donné.

➡️

Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

➡️

Développabilité en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^\infty[0,a[}

, à dérivées toutes positives.
Soit

{R_{n}(x)}

e son reste intégral d’ordre

{n}

sur

{[0,x]}

.
Montrer que

{x\mapsto R_{n}(x)/x^{n+1}}

est croissante.
En déduire que

{f}

est DSE sur

{[0,a[}

➡️

Série de fonctions ou série entière ?

(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de

{f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}

Montrer que

{f}

est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?

➡️

Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

➡️

Série de fonctions et série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

est développable en série entière sur

{]-1,1[}

➡️

f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de

{f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}

.
Montrer que

{f}

se prolonge sur

{\mathbb{R}^{2}}

➡️

DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

➡️

Polynômes stables

(Oral Centrale Mp)
Polynômes stables

➡️

Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
Étude des

{P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}

, où les

{F_k}

forment la suite de Fibonacci.

➡️

Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

➡️

Série de Taylor non suffisante

On pose

{f(x)=\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)}

pour

x\ne 0

, et

{f(0)=0}

. Montrer que

{f}

est

{\mathcal{C}^{\infty}}

sur

{\mathbb{R}}

et que

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;f^{(n)}(0)=0}

, mais que

f

n’est pas développable en série entière

➡️

Développements en série entière

Six exercices sur le thème « développements en série entière ».

➡️

DSE de arcsin²(x)

Développer

{f(x)=\arcsin^{2}(x)}

en série entière.

➡️

Un développement en série entière

Développer

{f(x)=\arctan\left(\dfrac{x\sin\alpha}{1-x\cos\alpha}\right)}

en série entière, où

{0\lt \alpha\lt \dfrac\pi2}

➡️

Un développement en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Développer

{\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}}

en série entière.

➡️