QCM (orthogonalité)
Un questionnaire sur le thème « Orthogonalité ». Pour chacune des 19 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Espaces préhilbertiens
Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
Somme des distances à une droite
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de {p} points.
Produit scalaire et dérivées partielles
(Oral Centrale). Avec une méthode basée sur des dérivées partielles de fonctions génératrices, on étudie un produit scalaire discret sur {\mathbb{R}_n[X]}.
Conservation des distances et linéarité
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f\colon E\to E} vérifiant {f(0)=0} et :{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}Montrer que {(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}
Montrer que {f} est linéaire.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
Soit {f\colon E\to E} vérifiant {f(0)=0} et :{\forall\,(x,y)\in E^{2},\;\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|}Montrer que {(f(x)\mid f(y))=( x\mid y)}
Montrer que {f} est linéaire.
Projection orthogonale dans Rn[X]
(Oral Mines-Ponts)
On munit {E=\mathbb{R}_{n}[X]} du produit scalaire {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}Soit {A\ne0} dans {E}. Pour tout {P\in E}, on note {f_{A}(P)} le reste de la division euclidienne de {P} par {A}.
Montrer que {f_{A}} est un endomorphisme de {E}. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?
On munit {E=\mathbb{R}_{n}[X]} du produit scalaire {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}Soit {A\ne0} dans {E}. Pour tout {P\in E}, on note {f_{A}(P)} le reste de la division euclidienne de {P} par {A}.
Montrer que {f_{A}} est un endomorphisme de {E}. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?
Distance à deux supplémentaires
(Oral Mines-Ponts)
Soient {F,G} deux sous-espaces de {E} euclidien.
Montrer que {F} et {G} sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}
Soient {F,G} deux sous-espaces de {E} euclidien.
Montrer que {F} et {G} sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}
Projection orthogonale sur un plan
Soit {\mathbb{R}^{3}} euclidien, muni de la base canonique.
Soit {P} le plan vectoriel orthogonal à {n=(1,1,1)}.
Donner la matrice {A} de la projection orthogonale {\pi} sur {P}.
Soit {P} le plan vectoriel orthogonal à {n=(1,1,1)}.
Donner la matrice {A} de la projection orthogonale {\pi} sur {P}.
Convergence faible
(Oral CCInp)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.
(AX|X) = 0 pour tout X
(Oral Mines-Ponts)
Préciser l’ensemble {E} des {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall\, X\in \mathbb{R}^n,\;X^{\top}AX=0}
Préciser l’ensemble {E} des {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telles que : {\forall\, X\in \mathbb{R}^n,\;X^{\top}AX=0}
Orthogonal non supplémentaire
Oral Centrale
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
Matrice et inégalité « à la Bessel »
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {\|AX\|\leq \|X\|} pour tout {X}.
Soit {X\in E} et {Y=A^{T}X}. Montrer que {(A^{T}X\mid Y)=\|Y\|^{2}} et {\|Y\|\leq\|X\|}.
On suppose qu’il existe {X\in E} tel que {AX=X}. Montrer que {A^{T}X=X}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {\|AX\|\leq \|X\|} pour tout {X}.
Vecteurs obtusangles
(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.
Projecteur et transposition
(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Polynômes orthogonaux
(Oral Centrale)
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour {(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}On montre qu’ils sont scindés simples sur {\mathbb{R}}.
On étudie une famille de polynômes orthogonaux pour {(f\mid g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)g(t)\varphi(t)\,\text{d}t}On montre qu’ils sont scindés simples sur {\mathbb{R}}.
Famille obtusangle
(Oral Centrale)
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
On se donne {(e_{1},\ldots,e_{p})} dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, tels que {(e_{i}\mid e_{j})\lt 0} pour {i\neq j}.
Montrer que {(e_{1},\ldots,e_{p-1})} est libre. Conséquence?
Un produit scalaire entre polynômes
(Oral Centrale Mp)
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Distance à un sous-espace
Dans un espace euclidien E, on introduit la notion de matrice de Gram d’une famille de vecteurs.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
Forme linéaire et produit scalaire
On munit {E=\mathbb{R}[X]} du produit scalaire {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Existe-t-il {A\in E} tel que : {\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}?
Même question avec E=\mathbb{R}_n[X]. Que dire sur A?
Minimum d’une intégrale
Calculer le minimum de {I_{a,b}=\displaystyle\int_{0}^{1}(t\ln(t)-at-b)^2\,\text{d}t}, et pour quels {a,b}.
Une base orthonormale
Dans {E} préhilbertien réel, soit {(e_k)_{1\le k\le n}} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.
Éléments propres de M quand MMT=MTM
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {M{M}^{\top}={M}^{\top}M}.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Noyau de M+MT quand M2=0
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, telle que {M^{2}=0}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Conservation de l’orthogonalité
Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
Procédé de Gram-Schmidt
On munit {\mathbb{R}_4[X]} de {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Une base orthonormale de ℝ[X]
Dans {\mathbb{R}[X]}, on pose {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}, {\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;} et {\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
1. Montrer que {(P_{n})_{n\ge0}} est une famille orthogonale. Calculer \|P_n\|.
2. Former une base orthonormale de {\mathbb{R}_{4}[X]}.
Produit scalaire et linéarité
Soit {E} préhilbertien réel, et {f\colon E\rightarrow E} une application.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.
Une condition d’orthogonalité
Soit u,v deux vecteurs de {E} préhilbertien réel.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}.
Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.
Un produit scalaire?
Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?
Inégalité et norme euclidienne
Soient x,y dans {E} préhilbertien réel.
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}
Inégalités entre traces
Soit {A,B} deux matrices symétriques réelles d’ordre {n}.
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Base dont l’image est orthogonale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.
Chebyshev et produit scalaire
(Oral X-Cachan Psi)
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
Une approximation quadratique
(Oral Ccp)
On munit \mathbb{R}[X] du produit scalaire : {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
Pour {(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}, on pose : {f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Déterminer le minimum de f sur {\mathbb{R}^{n}}.
On munit \mathbb{R}[X] du produit scalaire : {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
Pour {(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}, on pose : {f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Déterminer le minimum de f sur {\mathbb{R}^{n}}.
Un orthogonal non supplémentaire
On munit {E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}Soit {\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\[3pts]G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}
Montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ } mais que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.
Montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ } mais que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.