Espaces préhilbertiens

On trouvera ici les exercices corrigés du site www.mathprepa.fr pour le chapitre de deuxième année « Espaces préhilbertiens réels ».

Convergence faible

(Oral CCInp)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.

Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.

Une base orthonormale

Dans {E} préhilbertien réel, soit {(e_k)_{1\le k\le n}} unitaires tels que : {\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}
Montrer que {(e_k)_{1\le k\le n}} est une base orthonormée de {E}.

Conservation de l’orthogonalité

Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.