Équations différentielles
Série entière, équation différentielle
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Un système différentiel
(Oral Ccp)
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Résoudre {X'=AX} où {A=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-3&4&-1\\ -2&0&2\\3&-12&9\end{pmatrix}}.
Équation différentielle y″=(1+x4)y
(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}, connaissant la solution, notée f, telle que {f(0)=f'(0)=1}.
On trouve une base du plan des solutions de {(\star):\; y''=(1+x^{4})y}, connaissant la solution, notée f, telle que {f(0)=f'(0)=1}.
Une équation intégrale
(Oral X-Cachan)
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Résoudre dans {\mathcal{C}^{0}(\mathbb{R},\ \mathbb{R})} : {\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,\text{d}t=1}.
Équation différentielle de Legendre
(Oral X-Cachan Psi)
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
On note {U_{n}=(X^{2}-1)^{n}} et {P_{n}=U_n^{(n)}}.
1. Montrer que {P_{n}} vérifie {(E):(1\!-\!x^{2})y''\!-\!2xy'\!+\!n(n\!+\!1) y\!=\!0}.
2. Donner les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sur {[-1,1]}.
3. Montrer que les P_n sont orthogonaux pour {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Équation différentielle y"+f(x)y = 0
(Oral Tpe& XEns)
On étudie l’équation {(E): y'' + f(x)y = 0}, où {f} est continue intégrable sur {\mathbb{R}}.
On étudie l’équation {(E): y'' + f(x)y = 0}, où {f} est continue intégrable sur {\mathbb{R}}.
Équa. différentielle et série entière
Équa. diff. et développement limité
(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Un système différentiel linéaire
Endomorphisme intégral
(Oral Tpe et Ensam)
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Pour {f\in E={\mathcal C}^0([0,1],\mathbb{R})}, soit {\Phi(f)\,\colon x\mapsto\displaystyle\int_0^1\min(x,t) f(t) \,\text{d}t}.
On demande les éléments propres de {\Phi}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 1
Équa. diff. linéaire d’ordre 2
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Mouvement circulaire (bis)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}} une solution de {(S):\;X'=AX}, avec {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} antisymétrique.
1. Montrer que {\left\|{X(t)}\right\|} est constant
2. Si {a\in\text{Ker}(A)}, montrer que {\left({X(t)}\mid{a}\right)} est constant
3. En déduire que le mouvement de {X(t)} est circulaire
Soit {X\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}} une solution de {(S):\;X'=AX}, avec {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} antisymétrique.
1. Montrer que {\left\|{X(t)}\right\|} est constant
2. Si {a\in\text{Ker}(A)}, montrer que {\left({X(t)}\mid{a}\right)} est constant
3. En déduire que le mouvement de {X(t)} est circulaire
Mouvement circulaire
(Oral Ccp)
Soit {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}} et {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement {(S)}
Soit {(S):\begin{cases}x'(t)= y(t)- z(t)\\y'(t)= z(t)- x(t)\\z'(t)= x(t)- y(t)\end{cases}} et {\begin{cases}x(0)=1\\y(0)=0\\z(0)=0\end{cases}}
Existence et l’unicité de la solution
Montrer que la trajectoire est incluse dans un cercle.
Résoudre directement {(S)}
Équation différentielle d’ordre 3
(Oral Ccp)
Soit {(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}.
On pose {X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}.
1. Montrer que {(E)} s’écrit {X'=AX}.
2. Trigonaliser {A}, puis résoudre {(E)}.
Soit {(E):\;x^{(3)}(t)-5x''(t)+7x'(t)-3x(t)=0}.
On pose {X(t)={\bigl(x(t),x'(t),x''(t)\bigr)}^{\top}}.
1. Montrer que {(E)} s’écrit {X'=AX}.
2. Trigonaliser {A}, puis résoudre {(E)}.
Pas de sev stable de dim ≥ 1
(Oral Mines-Ponts)
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Soient {E={\mathcal C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {\Phi\in\mathcal{L}(E)} défini par {\Phi(f): x\mapsto \displaystyle\int_0^x f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\Phi} ne stabilise aucun sous-espace de dimension finie {n\ge1} de E.
Un système différentiel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.
Soit le système différentiel {(S_k) : \begin{cases}X'_{k} = AX_{k}\\X_{k}(0) = e_{k}\end{cases}}
On note {X(t)\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} de colonnes {X_{k}(t)}.
1. Montrer que {X(t)} est inversible.
2. Équation différentielle vérifiée par {\det(X)}.
3. Déterminer {\det(X(t))} en fonction de {\text{tr}(A)}.