Rang d’une matrice à paramètre
Calculer le rang de {A=}{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}
Calculs matriciels
Inverse d’une matrice 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1&-1&-1\cr1&-1&1&-1\cr1&-1&-1&-1\end{pmatrix}}. Calculer {A^2,A^3} puis {A^{-1}}.
Un sous-espace de matrices
(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
Carré d’une matrice de rang ≤ 1
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Matrices par blocs et semblables
(Oral Mines-Ponts)
Soit {N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}, {N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}, nilpotentes.
Soit {U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}, {U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}.
On pose {A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}.
Montrer que {A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}} et {\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}
Soit {N_{1}\in{\mathcal M}_{p_{1}}(\mathbb{K})}, {N_{2}\in{\mathcal M}_{p_{2}}(\mathbb{K})}, nilpotentes.
Soit {U_{1}\in\text{GL}_{q_{1}}(\mathbb{K})}, {U_{2}\in\text{GL}_{q_{2}}(\mathbb{K})}.
On pose {A=\begin{pmatrix}N_{1}&0\\ 0&U_{1}\end{pmatrix}} et {B=\begin{pmatrix}N_{2}&0\\ 0&U_{2}\end{pmatrix}}.
Montrer que {A\sim B\Leftrightarrow\begin{cases}p_{1}=p_{2}\\q_{1}=q_{2}\end{cases}} et {\begin{cases}N_{1}\sim N_{2}\\U_{1}\sim U_{2}\end{cases}}
Déterminant positif, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Soient {A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}.
Montrer que {\det(M)\ge 0}.
Si AB=BA et B nilpotente, alors…
(Oral Centrale)
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {B} nilpotente et {AB=BA}. Montrer l’équivalence :
({A} inversible) {\Leftrightarrow} ({A+B} inversible).
Soit {A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, avec {B} nilpotente et {AB=BA}. Montrer l’équivalence :
({A} inversible) {\Leftrightarrow} ({A+B} inversible).
Matrices réelles semblables dans Mn(ℂ)
(Oral Tpe)
Si deux matrices réelles A,B sont semblables dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, elles le sont dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
Si deux matrices réelles A,B sont semblables dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}, elles le sont dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}.
Matrices nilpotentes de même rang
(Oral Centrale)
Soient {A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, de même rang, telles que {A^k=B^k=0}. Si k=2, montrer que A,B sont semblables. Et si k=3?
Soient {A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, de même rang, telles que {A^k=B^k=0}. Si k=2, montrer que A,B sont semblables. Et si k=3?
Le commutant de GLn(ℂ)
(Oral Centrale)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})} telles que :
{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}.
Trace de M → AMB
(Oral Ensam)
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
Calculer la trace de \Phi\colon M\mapsto AMB
Soient {A,B} dans {{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}.
Calculer la trace de \Phi\colon M\mapsto AMB
Racine de matrice nilpotente
(Oral Ensam)
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Existe-t-il {B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{K})} telle que {B^2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}}?
Sommes de projecteurs
(Oral X-Cachan)
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée A puisse s’écrire comme la somme de k matrices de projections A_1,A_2,\ldots,A_k vérifiant les égalités A_iA_j=0 pour tous i\ne j.
Dans cet exercice, on établit l’équivalence de conditions pour qu’une matrice carrée A puisse s’écrire comme la somme de k matrices de projections A_1,A_2,\ldots,A_k vérifiant les égalités A_iA_j=0 pour tous i\ne j.
Matrices bistochastiques, épisode 7
Matrices bistochastiques, épisode 6
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4, Ep5.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}.
On sait que {A=\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_{k}P_{k}}, (avec {\alpha_k>0}, {\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\alpha_k=\mu}, les {P_k} matrices de permutations).
On montre ici que {m} peut être rendu inférieur ou égal à {(n\!-\!1)^2\!+\!1}.
Matrices bistochastiques, épisode 5
Pour les notations et les résultats précédents : Ep1, Ep2, Ep3, Ep4.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Soit {A} une matrice positive magique de somme {\mu>0}. L’objectif de cet article est de prouver que la matrice A peut s’écrire, au moins d’une manière, comme un barycentre (à coefficients strictement positifs) de matrices de permutation.
Matrices bistochastiques, épisode 4
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Pour {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, et pour {\sigma\in\mathcal{S}_{n}}, on note {\sigma(A)=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}a_{\sigma(j),j}}.
On dit que {A} est traversable s’il existe {\sigma\in\mathcal{S}_{n}} telle que {\sigma(A)\ne0}.
On montre ici que toute matrice magique de somme {\mu>0} (et en particulier toute matrice bistochastique) est traversable
Matrices bistochastiques, épisode 3
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.
On montre ici que tout élément extrémal de l’espace {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} des matrices bistochastiques est une matrice de permutation P_{\sigma}.
Matrices bistochastiques, épisode 2
On reprend les définitions et les notations de l’épisode 1.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
On étudie ici l’espace \mathcal{B}_n(\mathbb{R}) des matrices bistochastiques. On montre que {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})} est compact et stable pour le produit, et convexe. On prouve aussi que les matrices de permutation sont extrémales dans {\mathcal{B}_{n}(\mathbb{R})}.
Matrices bistochastiques, épisode 1
Soit {A=(a_{i,j})_{0\le i,j\le n-1}} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}.
On dit que A est {\mu}–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.
On dit que A est {\mu}–magique si la somme de chaque ligne et de chaque colonne vaut {\mu}.
On dit que {A} est bistochastique si A est {1}-magique et si les {a_{i,j}} sont positifs ou nuls.
On note {\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices bistochastiques d’ordre n.
On note {\mathcal{P}_n(\mathbb{R})\subset\,\mathcal{B}_n(\mathbb{R})} l’ensemble des matrices de permutations {P_{\sigma}} d’ordre n.
On illustre ici ces notions avec Python.