Calculs matriciels

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Compléments d’algèbre linéaire », dans la catégorie « Calculs matriciels »

Rang d’une matrice par blocs

Soit

{M=\begin{pmatrix}A &B\\C&D\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{A\in{\text{GL}}_{p}(\mathbb{R})}

.
Montrer que :

{\text{rg}(M)=p\Leftrightarrow D=CA^{-1}B.\quad}

Soit

H

un hyperplan quelconque de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

H

contient au moins une matrice inversible.

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})}

{B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}

.
On suppose que

{AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}

.
Déterminer

{(x,y,z)}

pour que

{AB}

soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer

{BA}