Mp/Pc/Psi
Exercices corrigés pour les classes de Math Spé Mp Pc Psi, posés aux concours : Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.

Probabilité et Cauchy-Schwarz

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une v.a.r positive de variance non nulle.
Montrer que, pour tout

{\lambda \in\,]0,1[}

{\mathbb{P}(X\geq \lambda E(X))\geq (1-\lambda )^{2}\dfrac{E(X)^{2}}{E(X^{2})}}

➡️

Probabilité d’être un projecteur

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{1},\ldots,X_{n})}

des v.a.r. indépendantes, de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Donner la loi du rang et de la trace de

{M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}

.
Quelle est la probabilité que

{M}

représente un projecteur ?

➡️

Un événement négligeable

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(X_{n})_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi

{\mathcal{B}(p)}

.
Soit

{A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}

.
Soit

{I}

l’événement « une infinité de

{A_{n}}

sont réalisés ».
Montrer que

{\mathbb{P}(I)=0}

➡️

Convergence en probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.

➡️

Suite de solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}

.
Soit

{y_{n}}

la solution telle que

{y_{n}(0)=0}

{y_{n}'(0)=1}

.
Montrer que la suite

{(y_n)}

converge uniformément sur tout segment de

{\mathbb{R}^+}

➡️

Probabilité de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}}

avec

{\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}

.
Donner la loi du rang

{R}

{A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}

Probabilité que

{A}

soit diagonalisable?

➡️

Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes suivant

{\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}

.
Donner la loi, l’espérance et la variance de

{Z\!=\!X\!-\!Y}

.
Calculer

{\text{Cov}(X,Z)}

et leur coefficient de corrélation.

➡️

Autour du lemme de Gronwall

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}

, croissante.
Soit

{f}

une solution de

{f''+qf=0}

.
Montrer que

{f}

est bornée.

➡️

L’intégrale de Dirichlet

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}

➡️

Intégrale généralisée en deux temps

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}

.
Convergence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}

➡️

Équation matricielle M M^T M = I_n

(Oral Mines-Ponts 2018)
Résoudre

{M\,M^{T}M=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Endomorphisme de polynômes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])}

défini par

{u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}

.
Résoudre

{nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y}

sur

{]-1,1[}

. Diagonaliser

{u}

➡️

Spectre d’un polynôme de matrice

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

{P\in\mathbb{C}[X]}

. Montrer que

{P(\text{Sp}(M))=\text{Sp}(P(M))}

. Le résultat demeure-t-il pour

{M\in\mathcal{M}_{n}}

(

{\mathbb{R}}

) et le spectre réel ?

➡️

A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in GL_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}}

est diagonalisable. Montrer que

{A}

est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si

{A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})}

➡️

Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}

tend vers

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}

➡️

f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de

{f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}

.
Montrer que

{f}

se prolonge sur

{\mathbb{R}^{2}}

➡️

(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

diagonalisables telles que

{A^{2}=B^{2}}

{A^{3}=B^{3}}

.
Montrer que

{A=B}

. Et si on ne suppose plus

{A,B}

diagonalisables?

➡️

Matrices à puissances bornées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})}

telles que la suite

{n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}}

soit bornée.

➡️

Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Dans un

{\mathbb{C}}

-ev

{E}

de dimension finie, on étudie les propriétés de

{u,v}

dans

{\mathcal{L}(E)}

tels que

{uv-vu=au+bv}

avec

{a\ne 0}

➡️

Puissances de matrices stochastiques

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}

, où

{n\ge2}

{\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}

.
Montrer que la suite

{(A^{k})_{k\ge0}}

converge.

➡️